Cho hình bình hành ABCD, có AC vuông góc với CD. M, N lần lượt là…

Chào em, một câu hỏi hình học lớp 8 rất hay và cơ bản để rèn luyện tư duy về tính chất hình bình hành và tam giác đấy! Thầy/cô sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng ý một nhé.

Hướng dẫn chung: Trước khi làm bài, em hãy vẽ hình thật cẩn thận vào vở. Ký hiệu rõ các điểm A, B, C, D, các trung điểm M, N và góc vuông tại C nhé.

Giải câu a: Chứng minh tam giác MCA cân tại M

• Bước 1: Em hãy xét tam giác ACD. Theo giả thiết, tam giác này có góc ACD bằng 90 độ, tức là tam giác ACD là tam giác vuông tại C.
• Bước 2: Trong tam giác vuông ACD, đoạn thẳng MC nối từ đỉnh góc vuông C đến trung điểm M của cạnh huyền AD. Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, độ dài đường trung tuyến này sẽ bằng nửa cạnh huyền.
• Bước 3: Từ đó ta suy ra độ dài đoạn thẳng MA bằng độ dài đoạn thẳng MC (cùng bằng nửa cạnh huyền AD).
• Bước 4: Xét tam giác MCA, vì có MA bằng MC nên tam giác MCA là tam giác cân tại M (điều phải chứng minh).

Giải câu b: Chứng minh AC vuông góc với MN

• Bước 1: Em hãy nhớ lại tính chất của hình bình hành ABCD. Ta có cạnh AD song song với cạnh BC và cạnh AB song song với cạnh CD.
• Bước 2: Theo giả thiết, M là trung điểm của AD và N là trung điểm của BC. Do AD song song với BC và AD bằng BC (tính chất hình bình hành), nên đoạn thẳng AM sẽ song song và bằng đoạn thẳng CN.
• Bước 3: Xét tứ giác AMCN, ta có AM song song với CN và AM bằng CN (chứng minh ở bước 2). Suy ra tứ giác AMCN là một hình bình hành.
• Bước 4: Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên cạnh MN sẽ song song với cạnh AC (vì MN nối hai trung điểm tương ứng hoặc dựa vào tính chất hình bình hành AMCN, đoạn MN song song với AC).
• Bước 5: Mặt khác, theo đề bài ta đã có đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng CD. Mà cạnh CD lại song song với cạnh AB (do ABCD là hình bình hành).
• Bước 6: Từ việc AC vuông góc với CD và CD song song với AB, ta suy ra AC cũng phải vuông góc với AB.
• Bước 7: Cuối cùng, vì đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng AB, mà MN lại song song với AB (hoặc dựa vào mối quan hệ song song vuông góc), ta suy ra AC vuông góc với MN (điều phải chứng minh).

Lời khuyên từ giáo viên: Để làm tốt các bài toán hình học lớp 8, em hãy luôn ghi nhớ và áp dụng linh hoạt các tính chất của hình bình hành, đường trung tuyến trong tam giác vuông, và quan hệ giữa tính song song và vuông góc nhé. Chúc em học tốt và đạt điểm cao!