Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm 2 đường thẳng AC và BD…

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải chi tiết một bài toán hình học lớp 8 rất hay và quen thuộc liên quan đến tính chất đối xứng của hình bình hành. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Để chứng minh tứ giác EKFH là hình bình hành, phương pháp nhanh nhất và cơ bản nhất trong chương trình lớp 8 là chứng minh tứ giác đó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Cụ thể ở đây, ta sẽ chứng minh O chính là trung điểm chung của đoạn thẳng EF và đoạn thẳng KH.

Bước 1: Khai thác tính chất của hình bình hành ban đầu ABCD

• Theo giả thiết, tứ giác ABCD là hình bình hành và O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
• Theo tính chất của hình bình hành, giao điểm của hai đường chéo chính là trung điểm của mỗi đường. Do đó, điểm O vừa là trung điểm của AC, vừa là trung điểm của BD.
• Ngoài ra, vì ABCD là hình bình hành nên ta có các cặp cạnh đối song song với nhau, đặc biệt là cạnh AD song song với cạnh BC, và cạnh AB song song với cạnh CD.

Bước 2: Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng EF

• Ta xét hai tam giác OA3 và OC6 (nhưng ở đây theo hình vẽ chuẩn, ta xét tam giác AOE và tam giác COF).
• Xét tam giác AOE và tam giác COF, ta có:
• Góc EAO bằng góc FCO (đây là hai góc so le trong do đường thẳng AD song song với BC).
• Cạnh OA bằng cạnh OC (vì O là trung điểm của đường chéo AC).
• Góc AOE bằng góc COF (đây là hai góc đối đỉnh).
• Từ các điều kiện trên, ta suy ra tam giác AOE bằng tam giác COF (theo trường hợp góc – cạnh – góc).
• Từ hai tam giác bằng nhau này, ta suy ra cạnh OE bằng cạnh OF (hai cạnh tương ứng).
• Điều này chứng minh rằng điểm O chính là trung điểm của đoạn thẳng EF. (1)

Bước 3: Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng KH

• Hoàn toàn tương tự như bước trên, ta xét đường thẳng b đi qua O và cắt hai cạnh đối AB và CD tại K và H.
• Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên cạnh AB song song với cạnh CD.
• Xét tam giác OBK và tam giác ODH, ta có:
• Góc KBO bằng góc HD_O (hai góc so le trong do AB song song với CD).
• Cạnh OB bằng cạnh OD (vì O là trung điểm của đường chéo BD).
• Góc BOK bằng góc DOH (hai góc đối đỉnh).
• Do đó, tam giác OBK bằng tam giác ODH (theo trường hợp góc – cạnh – góc).
• Suy ra cạnh OK bằng cạnh OH (hai cạnh tương ứng).
• Điều này chứng minh rằng điểm O chính là trung điểm của đoạn thẳng KH. (2)

Bước 4: Kết luận

• Xét tứ giác EKFH, ta thấy hai đường chéo EF và KH cắt nhau tại điểm O.
• Theo chứng minh ở Bước 2, O là trung điểm của EF.
• Theo chứng minh ở Bước 3, O là trung điểm của KH.
• Một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành.
• Vậy tứ giác EKFH là hình bình hành (điều phải chứng minh).

Lời khuyên từ giáo viên: Đối với các dạng toán chứng minh hình bình hành lớp 8, các em hãy luôn nhớ kiểm tra xem đề bài cho sẵn tâm đối xứng hay các cặp cạnh song song không nhé. Việc tận dụng tam giác bằng nhau chứa tâm O là một kỹ năng cực kỳ quan trọng. Chúc các em học tập thật tốt!