Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh DC lấy…

Chào em, thầy/cô rất vui được giúp em giải bài toán hình học lớp 8 này. Đây là một bài toán rất cơ bản và quan trọng để rèn luyện tư duy về các dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết từng ý một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé.

PHẦN A: Chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành, chúng ta sẽ dựa vào dấu hiệu nhận biết: “Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành”.

• Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên cạnh AB song song với cạnh CD (theo tính chất hình bình hành).
• Vì điểm M nằm trên cạnh AB và điểm N nằm trên cạnh DC, nên đoạn thẳng BM nằm trên đường thẳng AB và đoạn thẳng DN nằm trên đường thẳng DC.
• Do đó, đoạn thẳng BM song song với đoạn thẳng DN (vì AB song song với CD).
• Theo giả thiết của đề bài, ta có độ dài đoạn thẳng BM bằng độ dài đoạn thẳng DN (MB = ND).
• Xét tứ giác BMDN, ta có: BM song song với DN và BM = DN.
• Vậy tứ giác BMDN là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết).

PHẦN B: Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành

Ở phần này, chúng ta tiếp tục sử dụng dấu hiệu nhận biết về cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

• Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta có cạnh AB song song với cạnh CD và độ dài cạnh AB bằng độ dài cạnh CD.
• Ta có điểm M thuộc đoạn thẳng AB nên AM = AB – MB. Tương tự, điểm N thuộc đoạn thẳng DC nên CN = DC – DN.
• Mà ta đã biết tổng chiều dài AB bằng DC, và phần đoạn thẳng bị trừ đi bằng nhau theo giả thiết (MB = ND).
• Do đó, phần đoạn thẳng còn lại bằng nhau, nghĩa là độ dài đoạn thẳng AM bằng độ dài đoạn thẳng CN (AM = CN).
• Mặt khác, vì điểm M nằm trên AB và điểm N nằm trên CD nên đoạn thẳng AM nằm trên đường thẳng AB, đoạn thẳng CN nằm trên đường thẳng CD.
• Vì đường thẳng AB song song với đường thẳng CD nên đoạn thẳng AM song song với đoạn thẳng CN.
• Xét tứ giác AMCN, ta có: AM song song với CN và AM = CN.
• Vậy tứ giác AMCN là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết).

PHẦN C: Chứng minh tứ giác MKNH là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác MKNH là hình bình hành, chúng ta sẽ sử dụng dấu hiệu: “Tứ giác có các cạnh đối song song với nhau”.

• Xét tứ giác AMCN là hình bình hành (đã chứng minh ở phần B), ta suy ra cạnh AN song song với cạnh CM.
• Vì điểm K nằm trên đoạn thẳng AN nên đoạn thẳng MK nằm trên đường thẳng AN.
• Vì điểm H nằm trên đoạn thẳng CM nên đoạn thẳng NH nằm trên đường thẳng CM.
• Do đó, đoạn thẳng MK song song với đoạn thẳng NH (vì AN song song với CM).
• Xét tứ giác BMDN là hình bình hành (đã chứng minh ở phần A), ta suy ra cạnh BN song song với cạnh DM.
• Vì điểm K nằm trên đoạn thẳng DM nên đoạn thẳng MK nằm trên đường thẳng DM.
• Vì điểm H nằm trên đoạn thẳng BN nên đoạn thẳng NH nằm trên đường thẳng BN.
• Do đó, đoạn thẳng KN nằm trên đường thẳng BN và đoạn thẳng MH nằm trên đường thẳng DM, suy ra đoạn thẳng KN song song với đoạn thẳng MH.
• Xét tứ giác MKNH, ta có: MK song song với NH (vì cùng thuộc AN và CM) và KN song song với MH (vì cùng thuộc BN và DM).
• Vậy tứ giác MKNH là hình bình hành (vì có các cạnh đối song song).

Chúc em học tốt và luôn giữ vững niềm đam mê với môn Toán nhé! Nếu có phần nào chưa hiểu, em cứ mạnh dạn hỏi lại thầy/cô nha.