Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M N, lần lượt là…

Chào các em học sinh lớp 11 yêu quý! Thầy/cô rất vui được đồng hành cùng các em trong chuyên đề hình học không gian này. Dạng toán tìm giao tuyến của mặt phẳng chứa thiết diện rất hay gặp trong các bài kiểm tra. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết bài toán này thật chi tiết, từng bước một nhé.

Trước tiên, để làm tốt bài toán, các em cần nhớ lại hai phương pháp chính để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

• Cách 1: Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó.
• Cách 2: Tìm một điểm chung và một cặp đường thẳng song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng kia).

Bây giờ, chúng ta cùng áp dụng vào từng câu hỏi cụ thể.

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MNP và mặt phẳng SAC

• Bước 1: Trong mặt phẳng đáy ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khi đó, O chính là trung điểm của AC và cũng là trung điểm của BD.
• Bước 2: Xét trong mặt phẳng SBD, tam giác SBD có M là trung điểm của SB, N là trung điểm của SD. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác SBD, suy ra MN song song với BD.
• Bước 3: Trong mặt phẳng SAC, ta nối SO cắt đoạn thẳng MN tại một điểm, gọi điểm đó là I.
• Bước 4: Điểm I thuộc đoạn MN nên I nằm trong mặt phẳng MNP. Điểm I thuộc đoạn SO mà SO nằm trong mặt phẳng SAC nên I cũng nằm trong mặt phẳng SAC. Vậy I là điểm chung thứ nhất.
• Bước 5: Mặt khác, ta có điểm P nằm trên cạnh SC, nghĩa là điểm P thuộc mặt phẳng SAC và mặt phẳng MNP. Do đó P là điểm chung thứ hai.
• Kết luận: Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng IP.

b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MNP và mặt phẳng SAB

• Bước 1: Ta đã có điểm M là trung điểm của SB, mà SB lại nằm trong mặt phẳng SAB. Do đó điểm M chắc chắn thuộc mặt phẳng SAB. Mặt khác, M thuộc mặt phẳng MNP. Vậy M là điểm chung thứ nhất.
• Bước 2: Trong mặt phẳng đáy ABCD, gọi K là giao điểm của đường thẳng NP và đường thẳng CD (chú ý điểm P nằm trên cạnh SC nên kéo dài NP sẽ cắt CD).
• Bước 3: Điểm K thuộc đường thẳng CD mà CD nằm trong mặt phẳng đáy ABCD, suy ra K thuộc mặt phẳng ABCD (hay mặt phẳng SAB vì ABCD và SAB chung cạnh đáy AB). Điểm K cũng thuộc đường thẳng NP nên K thuộc mặt phẳng MNP.
• Bước 4: Trong mặt phẳng đáy ABCD, gọi tiếp E là giao điểm của đường thẳng AK và đường thẳng AB.
• Bước 5: Lúc này, điểm E thuộc đường thẳng AK nên E thuộc mặt phẳng MNP. Điểm E thuộc đường thẳng AB nên E thuộc mặt phẳng SAB. Vậy E là điểm chung thứ hai.
• Kết luận: Giao tuyến cần tìm là đường thẳng đi qua hai điểm M và E, chính là đường thẳng ME.

c) Tìm giao tuyến của mặt phẳng SAD và mặt phẳng MNP

• Bước 1: Xét điểm N, ta thấy N là trung điểm của SD, mà SD nằm trong mặt phẳng SAD. Do đó N thuộc mặt phẳng SAD. Mặt khác, N nằm trong mặt phẳng MNP. Vậy N là điểm chung thứ nhất.
• Bước 2: Ở phần b, chúng ta đã gọi K là giao điểm của đường thẳng NP và đường thẳng CD. Điểm K này cũng nằm trong mặt phẳng đáy ABCD.
• Bước 3: Trong mặt phẳng SAD, mặt phẳng SBC hoặc mặt phẳng đáy, ta tìm giao điểm của đường thẳng đi qua K song song với SA hoặc dựa vào tính chất hình bình hành. Cụ thể hơn, trong mặt phẳng SAD, từ điểm N ta kẻ đường thẳng song song với SA cắt cạnh SA hoặc từ điểm K ta dựng đường thẳng.
• Cách nhìn nhanh cho học sinh giỏi: Vì đáy ABCD là hình bình hành nên các mặt đối diện có tính chất song song. Ta thấy đường thẳng MN song song với BD, mà BD song song với mặt phẳng nào đó… Tuy nhiên, ở đây cách đơn giản nhất là tìm điểm chung thứ hai dựa vào giao điểm của các cạnh bên.
• Bước 4: Gọi F là giao điểm của đường thẳng kéo dài từ N (hoặc đường thẳng qua P và N) với cạnh SA hoặc các đường biên của mặt phẳng SAD. Do bài toán cho P nằm trên SC, ta có thể dùng định lý về giao tuyến song song: vì mặt phẳng MNP chứa đường thẳng MN song song với BD, mà BD lại liên quan đến mặt phẳng đáy, ta suy ra giao tuyến của MNP và SAD sẽ đi qua N và song song với một đường thẳng cố định.
• Kết luận: Giao tuyến là đường thẳng đi qua N và song song với đường thẳng SA (hoặc đường thẳng định hướng tùy theo vị trí điểm P, ở đây chuẩn nhất là đường thẳng qua N song song với một cạnh của mặt phẳng SAD).

d) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MNP và mặt phẳng ABCD

• Bước 1: Quay lại phần b, chúng ta đã gọi K là giao điểm của đường thẳng NP và đường thẳng CD. Vì CD nằm trong mặt phẳng ABCD, điểm K chính là điểm chung thuộc cả mặt phẳng MNP và mặt phẳng ABCD.
• Bước 2: Ở phần b chúng ta cũng đã tìm được điểm E là giao điểm của AK và AB. Điểm E nằm trên đường thẳng AB nên E thuộc mặt phẳng ABCD, đồng thời E cũng nằm trên đường thẳng ME (giao tuyến của MNP và SAB) nên E thuộc mặt phẳng MNP. Vậy E là điểm chung thứ hai.
• Hoặc cách ngắn gọn khác: Ta đã có điểm K là giao điểm của NP và CD (thuộc mặt phẳng đáy). Tìm thêm một điểm chung nữa bằng cách kéo dài đường thẳng MN cắt đường thẳng BD tại một điểm rồi hạ xuống đáy, hoặc sử dụng điểm K kết hợp với tính chất đồng phẳng.
• Kết luận: Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng đi qua hai điểm K và E, hay còn gọi là đường thẳng KE.

Hy vọng qua lời giải chi tiết này, các em đã nắm vững phương pháp tìm giao tuyến bằng cách đi tìm hai điểm chung hoặc kết hợp điểm chung và tính chất song song. Chúc các em học tập thật tốt và đạt điểm cao trong các bài kiểm tra sắp tới!