Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật .E,F là trọng tâm…

Chào em, một câu hỏi hình học không gian lớp 11 rất hay và cơ bản để rèn luyện tư duy tưởng tượng không gian và tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng. Thầy sẽ hướng dẫn em từng bước chi tiết để giải quyết bài toán này nhé.

Để chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng, phương pháp cơ bản nhất là chúng ta đi tìm một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó sao cho đường thẳng ban đầu song song với đường thẳng ta vừa tìm.

Bước 1: Chọn mặt phẳng phụ và tìm giao tuyến

Trước hết, chúng ta cần chọn một mặt phẳng trung gian chứa điểm E hoặc điểm F để dễ dàng tìm ra mối quan hệ song song. Ở bài toán này, việc gọi thêm trung điểm của các cạnh đáy sẽ giúp ích rất nhiều cho chúng ta.

• Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Khi đó, nối đoạn thẳng SM ta được đường trung tuyến của tam giác SAB.
• Gọi N là trung điểm của cạnh CD. Khi đó, nối đoạn thẳng SN ta được đường trung tuyến của tam giác SDC.
• Vì đáy ABCD là hình chữ nhật, ta dễ dàng suy ra hai cạnh bên AB và CD song song với nhau và bằng nhau. Do đó, hai tam giác cân SAB và SDC có kích thước hoàn toàn tương tự nhau.

Bước 2: Xác định vị trí của trọng tâm E và F

Theo giả thiết của đề bài, E là trọng tâm của tam giác SAB và F là trọng tâm của tam giác SDC.

• Vì E là trọng tâm tam giác SAB và M là trung điểm AB, nên điểm E nằm trên đoạn thẳng SM. Theo tính chất trọng tâm, ta có tỉ số độ dài SE chia cho SM bằng hai phần ba.
• Tương tự, vì F là trọng tâm tam giác SDC và N là trung điểm CD, nên điểm F nằm trên đoạn thẳng SN. Theo tính chất trọng tâm, ta có tỉ số độ dài SF chia cho SN cũng bằng hai phần ba.

Bước 3: Chứng minh đường thẳng EF song song với một đường thẳng trong mặt phẳng SBC

Bây giờ, chúng ta hãy xét trong tam giác lớn là tam giác SMN.

• Trong tam giác SMN, ta có điểm E nằm trên cạnh SM và điểm F nằm trên cạnh SN.
• Với tỉ số SE chia SM bằng với tỉ số SF chia SN và cùng bằng hai phần ba, áp dụng định lý Ta-lét đảo trong tam giác, ta suy ra ngay đoạn thẳng EF song song với cạnh đáy MN của tam giác đó.

Bước 4: Kết nối với mặt phẳng SBC và kết luận

Bây giờ chúng ta đưa kết quả vừa tìm được về mặt phẳng cần chứng minh là mặt phẳng SBC.

• Mặt khác, do tứ giác ABCD là hình chữ nhật, các cạnh đối diện AB và CD song song với nhau. Kết hợp với việc M là trung điểm AB và N là trung điểm CD, ta suy ra đoạn thẳng MN song song với đoạn thẳng BC.
• Mà đoạn thẳng BC lại nằm hoàn toàn bên trong mặt phẳng SBC.
• Từ việc EF song song với MN và MN song song với BC, theo tính chất bắc cầu ta suy ra đường thẳng EF song song với đường thẳng BC.
• Cuối cùng, vì đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng SBC và đường thẳng EF không nằm trong mặt phẳng này, ta kết luận được đường thẳng EF song song với mặt phẳng SBC theo đúng yêu cầu bài toán.

Lời khuyên từ giáo viên: Khi làm các bài toán chứng minh hình học không gian lớp 11, em hãy luôn nhớ vẽ hình thật rõ ràng, tô đậm các đường liên quan và tận dụng triệt để tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật cũng như định lý Ta-lét. Chúc em học tập thật tốt!