cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB. Gọi…

Chào các em học sinh lớp 11 yêu quý! Thầy/cô rất vui được đồng hành cùng các em trong chuyên đề Hình học không gian ngày hôm nay. Bài toán tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như giữa mặt phẳng và mặt phẳng là những kỹ năng nền tảng và cực kỳ quan trọng trong chương trình lớp 11. Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một cách chi tiết nhé.

PHẦN A: Tìm giao điểm của đường thẳng IK với mặt phẳng (SBD)

Để tìm giao điểm của một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này với một mặt phẳng khác, phương pháp chung của chúng ta là tìm một mặt phẳng phụ chứa đường thẳng đó, sau đó xác định giao tuyến của mặt phẳng phụ và mặt phẳng (SBD). Giao tuyến này cắt đường thẳng ban đầu ở đâu thì điểm đó chính là giao điểm cần tìm.

• Bước 1: Chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng IK. Nhìn vào hình vẽ, ta thấy đường thẳng IK nằm trong mặt phẳng (SAB) hoặc chúng ta có thể mở rộng không gian xét tam giác SAB. Tuy nhiên, cách tối ưu nhất là chọn mặt phẳng phụ chứa IK và có điểm chung dễ tìm với mặt phẳng (SBD). Ở đây, ta chọn mặt phẳng phụ là (SAB).
• Bước 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBD).
  • Ta thấy điểm S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng này vì S thuộc cả SA (thuộc (SAB)) và S thuộc (SBD).
  • Trong mặt phẳng đáy (ABCD), gọi E là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng BD.
  • Vì E thuộc AB nên E thuộc mặt phẳng (SAB). Vì E thuộc BD nên E thuộc mặt phẳng (SBD). Do đó, E là điểm chung thứ hai.
  • Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SBD) chính là đường thẳng SE.
• Bước 3: Xác định giao điểm trong mặt phẳng (SAB).
  • Trong mặt phẳng (SAB), gọi M là giao điểm của đường thẳng IK và đường thẳng SE.
  • Vì M thuộc IK nên M nằm trên đường thẳng IK.
  • Vì M thuộc SE mà SE lại nằm trong mặt phẳng (SBD), nên M thuộc mặt phẳng (SBD).
  • Kết luận: Điểm M chính là giao điểm cần tìm của đường thẳng IK và mặt phẳng (SBD).

PHẦN B: Tìm giao điểm của mặt phẳng (IJK) với cạnh SD và cạnh SC

Để tìm thiết diện hoặc giao điểm của mặt phẳng (IJK) với các cạnh của hình chóp, chúng ta sẽ đi tìm các giao tuyến lần lượt với các mặt bên theo thứ tự lan truyền.

1. Tìm giao điểm của mặt phẳng (IJK) với cạnh SD:

• Trước tiên, ta cần nối các điểm có sẵn để tạo ra các vết cắt trên các mặt. Trong mặt phẳng đáy (ABCD), gọi F là giao điểm của đường thẳng JK và đường thẳng AD.
• Xét mặt phẳng (SAD): Điểm I nằm trên cạnh SA nên I thuộc mặt phẳng (SAD). Điểm F nằm trên đường thẳng AD nên F cũng thuộc mặt phẳng (SAD).
• Nối hai điểm I và F lại, ta được đường thẳng IF chính là giao tuyến của mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (SAD).
• Trong mặt phẳng (SAD), gọi N là giao điểm của đường thẳng IF và cạnh SD.
• Vì N thuộc SD và N thuộc đường thẳng IF (nằm trong mặt phẳng (IJK)), nên N chính là giao điểm của mặt phẳng (IJK) với cạnh SD.

2. Tìm giao điểm của mặt phẳng (IJK) với cạnh SC:

• Bây giờ chúng ta đã có điểm N nằm trên cạnh SD, đồng nghĩa với việc mặt phẳng (IJK) đã cắt mặt phẳng (SCD) theo đoạn thẳng NC.
• Xét mặt phẳng (SCD): Trên mặt phẳng này, ta đã có điểm N (thuộc cạnh SD) và điểm K thuộc cạnh BC nên KC thuộc mặt phẳng (SCD) (chú ý điểm C là điểm chung của đáy và cạnh bên). Tuy nhiên, để tìm giao điểm với SC một cách trực quan nhất, ta có thể dựa vào tính chất hình học không gian hoặc giao tuyến chung.
• Cách đơn giản nhất là dựa vào điểm M đã tìm được ở phần A. Điểm M là giao điểm của IK và mặt phẳng (SBD). Do M nằm trên đường thẳng IK nên M thuộc mặt phẳng (IJK). Mặt khác, M cũng thuộc mặt phẳng (SBD).
• Xét trong mặt phẳng (SBD), đường thẳng SM cắt cạnh SC tại một điểm, nhưng để liên kết với mặt phẳng (SCD), ta xét giao tuyến của (IJK) và (SCD).
• Ta đã có điểm N thuộc mặt phẳng (IJK) và thuộc mặt phẳng (SCD). Ta lại có điểm K thuộc BC nên đường thẳng đi qua K và song song hoặc cắt các cạnh bên. Gọi P là giao điểm của đường thẳng NK và cạnh SC.
• Chính xác hơn, trong mặt phẳng (SCD), ta nối điểm N và điểm C lại, nhưng SC là cạnh của hình chóp. Ta xét giao điểm của đường thẳng NC với cạnh SC thì chính là điểm C rồi. Do đó, ta cần tìm giao điểm của mặt phẳng (IJK) với đường thẳng SC thông qua giao tuyến phụ.
• Gọi Q là giao điểm của đường thẳng IK và mặt phẳng (SCD). Trong mặt phẳng (SCD), nối điểm N với điểm Q, đường thẳng này cắt cạnh SC tại một điểm gọi là P.
• Vậy điểm P chính là giao điểm của mặt phẳng (IJK) với cạnh SC.

Lời khuyên từ giáo viên: Hình học không gian đòi hỏi các em phải có tư duy tưởng tượng tốt và nắm chắc định nghĩa về giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng. Các em hãy tự vẽ lại hình ra giấy, dùng bút màu khác nhau để phân biệt các đường kéo dài nhé. Chúc các em học tập thật tốt!