Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán hình học không gian khá thú vị liên quan đến hình chóp và tính khoảng cách. Bài toán yêu cầu chúng ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải, một kỹ năng rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 12.

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có SA = a, SA vuông với mặt phẳng ABCD, đáy ABCD là hình vuông. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt đáy là 45 độ. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM).

Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng phương pháp tọa độ.

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các điểm.

Vì SA vuông với mặt phẳng ABCD, chúng ta sẽ đặt gốc tọa độ tại A.

Chọn tia Ax trùng với tia AB, tia Ay trùng với tia AD, tia Az trùng với tia AS.

Vì ABCD là hình vuông, gọi cạnh hình vuông là \(b\). Ta có:

A = (0, 0, 0)

B = (b, 0, 0)

D = (0, b, 0)

C = (b, b, 0)

S = (0, 0, a)

M là trung điểm của AD, vậy:

M = \((\frac{0+0}{2}, \frac{0+b}{2}, \frac{0+0}{2})\) = \( (0, \frac{b}{2}, 0) \)

N là trung điểm của DC, vậy:

N = \((\frac{b+0}{2}, \frac{b+b}{2}, \frac{0+0}{2})\) = \( (\frac{b}{2}, b, 0) \)

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBM).

Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBM), chúng ta cần hai vectơ không cùng phương nằm trong mặt phẳng đó. Chúng ta có thể chọn hai vectơ \(\vec{SB}\) và \(\vec{SM}\).

\(\vec{SB} = B – S = (b, 0, 0) – (0, 0, a) = (b, 0, -a)\)

\(\vec{SM} = M – S = (0, \frac{b}{2}, 0) – (0, 0, a) = (0, \frac{b}{2}, -a)\)

Vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{SBM}\) của mặt phẳng (SBM) là tích có hướng của \(\vec{SB}\) và \(\vec{SM}\):

\(\vec{n}_{SBM} = [\vec{SB}, \vec{SM}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b & 0 & -a \\ 0 & \frac{b}{2} & -a \end{vmatrix}\)

\(= \vec{i} (0 \cdot (-a) – (-a) \cdot \frac{b}{2}) – \vec{j} (b \cdot (-a) – (-a) \cdot 0) + \vec{k} (b \cdot \frac{b}{2} – 0 \cdot 0)\)

\(= \vec{i} (\frac{ab}{2}) – \vec{j} (-ab) + \vec{k} (\frac{b^2}{2})\)

\(= (\frac{ab}{2}, ab, \frac{b^2}{2})\)

Để đơn giản, chúng ta có thể nhân vectơ pháp tuyến này với 2 để loại bỏ mẫu số:

\(\vec{n}_{SBM}’ = (ab, 2ab, b^2)\)

Bước 3: Xác định phương trình mặt phẳng (SBM).

Mặt phẳng (SBM) đi qua điểm S (0, 0, a) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{SBM}’ = (ab, 2ab, b^2)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:

\(A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0\)

\(ab(x-0) + 2ab(y-0) + b^2(z-a) = 0\)

\(abx + 2aby + b^2z – ab^2 = 0\)

Chia cả hai vế cho \(ab\) (vì \(a \neq 0, b \neq 0\)) ta được phương trình mặt phẳng đơn giản hơn:

\(x + 2y + \frac{b}{a}z – b = 0\)

Bước 4: Sử dụng thông tin về góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt đáy để tìm mối liên hệ giữa a và b.

Mặt đáy ABCD nằm trong mặt phẳng Oxy, có phương trình là \(z=0\). Vectơ pháp tuyến của mặt đáy là \(\vec{k} = (0, 0, 1)\).

Góc giữa hai mặt phẳng được tính bằng công thức:

\(\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| \cdot ||\vec{n}_2||}\)

Ở đây, \(\theta = 45^\circ\), \(\vec{n}_1 = \vec{n}_{SBM}’ = (ab, 2ab, b^2)\) và \(\vec{n}_2 = (0, 0, 1)\).

\(||\vec{n}_{SBM}’|| = \sqrt{(ab)^2 + (2ab)^2 + (b^2)^2} = \sqrt{a^2b^2 + 4a^2b^2 + b^4} = \sqrt{5a^2b^2 + b^4} = b\sqrt{5a^2 + b^2}\)

\(||\vec{n}_2|| = ||(0, 0, 1)|| = 1\)

\(\vec{n}_{SBM}’ \cdot \vec{n}_2 = (ab, 2ab, b^2) \cdot (0, 0, 1) = b^2\)

\(\cos 45^\circ = \frac{|b^2|}{b\sqrt{5a^2 + b^2} \cdot 1} = \frac{b^2}{b\sqrt{5a^2 + b^2}} = \frac{b}{\sqrt{5a^2 + b^2}}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{b}{\sqrt{5a^2 + b^2}}\)

\(\frac{1}{2} = \frac{b^2}{5a^2 + b^2}\)

\(5a^2 + b^2 = 2b^2\)

\(5a^2 = b^2\)

\(b = a\sqrt{5}\) (Vì \(b > 0\))

Bước 5: Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM).

Điểm D có tọa độ là (0, b, 0). Phương trình mặt phẳng (SBM) là \(x + 2y + \frac{b}{a}z – b = 0\).

Thay \(b = a\sqrt{5}\) vào phương trình mặt phẳng:

\(x + 2y + \frac{a\sqrt{5}}{a}z – a\sqrt{5} = 0\)

\(x + 2y + \sqrt{5}z – a\sqrt{5} = 0\)

Khoảng cách từ điểm \(D(x_D, y_D, z_D)\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) được tính bởi công thức:

\(d(D, (SBM)) = \frac{|Ax_D + By_D + Cz_D + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)

Với \(D = (0, b, 0) = (0, a\sqrt{5}, 0)\) và phương trình mặt phẳng \(x + 2y + \sqrt{5}z – a\sqrt{5} = 0\), ta có:

\(A = 1, B = 2, C = \sqrt{5}, D_{pt} = -a\sqrt{5}\)

\(d(D, (SBM)) = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot a\sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 0 – a\sqrt{5}|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (\sqrt{5})^2}}\)

\(= \frac{|2a\sqrt{5} – a\sqrt{5}|}{\sqrt{1 + 4 + 5}} = \frac{|a\sqrt{5}|}{\sqrt{10}} = \frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Vậy, khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM) là \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Kết luận: Sử dụng phương pháp tọa độ, chúng ta đã xác định được tọa độ các điểm cần thiết, tìm ra phương trình mặt phẳng (SBM), sử dụng thông tin về góc giữa hai mặt phẳng để liên hệ giữa \(a\) và \(b\), và cuối cùng tính toán khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM).