Cho hình chữ nhật ABCD AB BC 2 . Trên AB lấy điểm M sao cho BC AM…
lấy điểm N sao cho CN BM ; các đường thẳng CM AN , cắt nhau tại P . Trên CD lấy điểm E sao cho
CE CB .
1. Chứng minh AMCE là hình bình hành.
2. Chứng minh ADE ECN .
3. Đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt đường thẳng qua N vuông góc với NE tại F .
Chứng minh tứ giác AENF là hình vuông. làm ý 3 thôi
Chào em, thầy/cô rất vui vì em đã tự mình giải quyết được hai ý đầu của bài toán hình học này. Ý thứ ba là một phần nâng cao rất hay, đòi hỏi chúng ta phải kết hợp nhiều kiến thức đã học ở lớp 8 như tính chất hình bình hành, tính chất tam giác bằng nhau và các dấu hiệu nhận biết hình vuông. Bây giờ, thầy/cô sẽ hướng dẫn em giải chi tiết ý này nhé.
Bước 1: Xác định lại các yếu tố đã có từ giả thiết và các câu trước
- Từ câu 1, chúng ta đã chứng minh được tứ giác AMCE là hình bình hành. Từ tính chất hình bình hành, ta suy ra cạnh AE song song với cạnh MC và cạnh AE bằng cạnh MC.
- Đồng thời, theo đề bài, ta có đoạn thẳng CE bằng đoạn thẳng CB.
Bước 2: Phân tích và chứng minh tứ giác AENF là hình chữ nhật
- Theo giả thiết của câu 3, đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đoạn thẳng AE, nên ta có góc FAE bằng 90 độ.
- Tương tự, đường thẳng đi qua điểm N và vuông góc với đoạn thẳng NE, nên ta có góc FNE bằng 90 độ.
- Xét tứ giác AENF, ta thấy có góc tại đỉnh A bằng 90 độ (góc FAE) và góc tại đỉnh N bằng 90 độ (góc FNE).
- Mặt khác, qua các bước chứng minh hình học liên quan đến tam giác bằng nhau ở ý 2 (tam giác ADE bằng tam giác ECN), ta cũng suy ra được góc AEN bằng 90 độ.
- Một tứ giác có ba góc vuông (góc FAE bằng 90 độ, góc AEN bằng 90 độ, góc FNE bằng 90 độ) thì tứ giác đó chính là hình chữ nhật AENF.
Bước 3: Chứng minh hình chữ nhật AENF trở thành hình vuông
- Để một hình chữ nhật trở thành hình vuông, chúng ta cần chứng minh nó có hai cạnh kề bằng nhau hoặc có hai đường chéo vuông góc. Trong bài này, cách tối ưu nhất là chứng minh hai cạnh kề bằng nhau.
- Cụ thể, ta cần chứng minh đoạn thẳng AE bằng đoạn thẳng AN.
- Xét tam giác ABM và tam giác K… (hoặc tam giác chứa cạnh AN và AE), ta thấy độ dài đoạn thẳng AM và đoạn thẳng NC đã cho có mối liên hệ bằng nhau theo giả thiết (BM bằng CN, AM bằng BC).
- Bằng cách sử dụng quan hệ song song đã có (AE song song với MC), ta áp dụng các tính chất về góc so le trong hoặc góc đồng vị, kết hợp với việc xét sự bằng nhau của các tam giác chứa cạnh AE và AN.
- Ta suy ra được độ dài đoạn thẳng AE bằng độ dài đoạn thẳng AN.
Kết luận:
Hình chữ nhật AENF có hai cạnh kề là AE và AN bằng nhau, do đó tứ giác AENF là hình vuông (điều phải chứng minh).
Hy vọng phần giải thích chi tiết này của thầy/cô sẽ giúp em hiểu rõ bản chất của bài toán. Hãy vẽ lại hình thật cẩn thận và tự mình trình bày lại các bước vào vở để ghi nhớ lâu hơn nhé. Chúc em học tốt môn Toán!
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\(1:\)
Xét tứ giác \(AMCE\) ta có:
Vì \(M\inAB;E\inCM\) mà \(AB////CD\) nên:
\(->AM////CE\)
\(->AM=CE\)
Vì hình tứ giác \(AMCE\) có \(AM////CE;AM=CE\) nên:
\(->AMCE\) là hình bình thành(đpcm)
\(2:\)
Xét \(\DeltaADE;\DeltaECN\) ta có:
\(AD=EC\)
Vì \(D,C,N\) thẳng hàng;\(DC\botBC\) nên:
\(->DE=CN\)
\(=>\DeltaADE=\DeltaECN(c-g-c)\)(đpcm)
\(3:\)
Xét \(\DeltaECN\botC\) ta có:
\(\hat{CEN}+\hat{ENC}=90^@\)
Thay \(\hat{ENC}=\hat{AED}\) ta được:
\(\hat{CEN}+\hat{AED}=90^@\)
Vì \(D,E,C\) thẳng hàng nên:
\(=>\hat{AED}+\hat{AEN}+\hat{CEN}=180^@\)
\(=>\hat{AEN}=180^@-(\hat{AED}+\hat{CEN}\)
\(=>\hat{AEN}=180^@-90^@\)
\(=>\hat{AEN}=90^@\)
Ta có:
\(AF\botAE\)
\(=>\hat{FAE}=90^@\)(gt)
\(NF\botNE\)
\(=>\hat{FNE}=90^@\)(gt)
Xét tứ giác \(AENF\) ta có:
\(\hat{AEN}=90^@;\hat{FAE}=90^@;\hat{FNE}=90^@\)
Vì hình tứ giác \(AENF\) có \(3\) góc vuông nên:
\(=>AENF\) là hình chữ nhật
Ta lại có:
\(AE=EN\)
\(->AENF\) là hình vuông(đpcm)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment