Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán hình học thú vị về hình chữ nhật và tam giác nhé. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước giải của cô để hiểu rõ hơn về cách tính diện tích và so sánh diện tích các hình nhé.

Đề bài: Cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích 240 cm\(^2\). Trên AB lấy điểm M sao cho AM gấp rưỡi MB.

1. Tính diện tích tam giác ADM.

2. So sánh diện tích tam giác MOC và diện tích AOD.

3. Tính diện tích tam giác AOM.

Trước khi giải, cô trò mình cùng phân tích đề bài một chút nhé:

• Hình chữ nhật ABCD có diện tích là 240 cm\(^2\).
• Điểm M nằm trên cạnh AB.
• Quan trọng nhất là mối quan hệ giữa AM và MB: AM gấp rưỡi MB. “Gấp rưỡi” có nghĩa là gấp 1,5 lần, hay nói cách khác AM = \( \frac{3}{2} \) MB.

Chúng ta cùng bắt đầu giải từng phần nhé!

Phần 1: Tính diện tích tam giác ADM.

Các em hãy nhớ lại công thức tính diện tích tam giác: Diện tích = \( \frac{1}{2} \times \) cạnh đáy \( \times \) chiều cao tương ứng.

Trong tam giác ADM:

• Cạnh đáy có thể chọn là AM.
• Chiều cao tương ứng với cạnh đáy AM chính là cạnh AD (vì AD vuông góc với AB).

Vậy, Diện tích tam giác ADM = \( \frac{1}{2} \times AM \times AD \).

Bây giờ chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa AM và AB.

Theo đề bài, AM gấp rưỡi MB, tức là:

\( AM = 1,5 \times MB \)

Hay \( AM = \frac{3}{2} \times MB \)

Ta có: \( AB = AM + MB \)

Thay \( AM = \frac{3}{2} \times MB \) vào, ta được:

\( AB = \frac{3}{2} \times MB + MB \)

\( AB = \left( \frac{3}{2} + 1 \right) \times MB \)

\( AB = \frac{5}{2} \times MB \)

Từ đó, ta suy ra: \( MB = \frac{2}{5} \times AB \)

Và \( AM = \frac{3}{2} \times MB = \frac{3}{2} \times \left( \frac{2}{5} \times AB \right) = \frac{3}{5} \times AB \).

Vậy, AM bằng \( \frac{3}{5} \) độ dài cạnh AB.

Quay lại công thức tính diện tích tam giác ADM:

Diện tích tam giác ADM = \( \frac{1}{2} \times AM \times AD \)

Thay \( AM = \frac{3}{5} \times AB \) vào, ta có:

Diện tích tam giác ADM = \( \frac{1}{2} \times \left( \frac{3}{5} \times AB \right) \times AD \)

Diện tích tam giác ADM = \( \frac{3}{10} \times (AB \times AD) \)

Mà \( AB \times AD \) chính là diện tích của hình chữ nhật ABCD.

Vậy, Diện tích tam giác ADM = \( \frac{3}{10} \times \) Diện tích hình chữ nhật ABCD.

Thay số vào, ta được:

Diện tích tam giác ADM = \( \frac{3}{10} \times 240 \)

Diện tích tam giác ADM = \( 3 \times 24 \)

Diện tích tam giác ADM = 72 cm\(^2\).

Phần 2: So sánh diện tích tam giác MOC và diện tích AOD.

Để giải quyết phần này, chúng ta cần xác định điểm O. Trong các bài toán hình học về hình chữ nhật, nếu không nói gì thêm, điểm O thường là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Bước 1: Tính diện tích tam giác AOD.

Trong hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Điều này có nghĩa là O là trung điểm của AC và O cũng là trung điểm của BD.

Khi đó, bốn tam giác AOB, BOC, COD, DOA có diện tích bằng nhau và bằng \( \frac{1}{4} \) diện tích hình chữ nhật ABCD.

Vậy, Diện tích tam giác AOD = \( \frac{1}{4} \times \) Diện tích hình chữ nhật ABCD.

Diện tích tam giác AOD = \( \frac{1}{4} \times 240 \)

Diện tích tam giác AOD = 60 cm\(^2\).

Bước 2: Tính diện tích tam giác MOC.

Chúng ta đã biết M nằm trên AB, O là trung điểm của AC, C là một đỉnh của hình chữ nhật.

Hãy xét tam giác AMC.

• Cạnh đáy của tam giác AMC có thể coi là AM.
• Chiều cao tương ứng với cạnh đáy AM chính là cạnh BC (vì BC vuông góc với AB).

Vậy, Diện tích tam giác AMC = \( \frac{1}{2} \times AM \times BC \).

Chúng ta biết AM = \( \frac{3}{5} \times AB \) và BC = AD.

Nên, Diện tích tam giác AMC = \( \frac{1}{2} \times \left( \frac{3}{5} \times AB \right) \times AD \)

Diện tích tam giác AMC = \( \frac{3}{10} \times (AB \times AD) \)

Diện tích tam giác AMC = \( \frac{3}{10} \times \) Diện tích hình chữ nhật ABCD.

Diện tích tam giác AMC = \( \frac{3}{10} \times 240 \)

Diện tích tam giác AMC = 72 cm\(^2\). (Các em có thấy diện tích tam giác AMC bằng diện tích tam giác ADM không? Đó là vì chúng có chung tỉ số đáy AM/AB và chiều cao tương ứng với cạnh đáy đó là BC = AD!)

Bây giờ, chúng ta xét tam giác AMC. Vì O là trung điểm của cạnh AC, đoạn thẳng MO chính là đường trung tuyến của tam giác AMC kẻ từ đỉnh M xuống cạnh AC.

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác là chia tam giác đó thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

Vậy, đường trung tuyến MO chia tam giác AMC thành hai tam giác AOM và MOC có diện tích bằng nhau.

Nghĩa là, Diện tích tam giác MOC = \( \frac{1}{2} \times \) Diện tích tam giác AMC.

Diện tích tam giác MOC = \( \frac{1}{2} \times 72 \)

Diện tích tam giác MOC = 36 cm\(^2\).

Bước 3: So sánh.

Chúng ta có:

Diện tích tam giác MOC = 36 cm\(^2\).

Diện tích tam giác AOD = 60 cm\(^2\).

Vì \( 36 < 60 \), nên Diện tích tam giác MOC nhỏ hơn Diện tích tam giác AOD.

Phần 3: Tính diện tích tam giác AOM.

Ở phần 2, chúng ta đã lập luận rằng MO là đường trung tuyến của tam giác AMC, chia tam giác AMC thành hai tam giác AOM và MOC có diện tích bằng nhau.

Từ đó, Diện tích tam giác AOM = Diện tích tam giác MOC.

Vì Diện tích tam giác MOC = 36 cm\(^2\),

Nên Diện tích tam giác AOM = 36 cm\(^2\).

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài toán này rồi! Cô tóm tắt lại các kết quả chính nhé:

1. Diện tích tam giác ADM là 72 cm\(^2\).
2. Diện tích tam giác MOC (36 cm\(^2\)) nhỏ hơn diện tích tam giác AOD (60 cm\(^2\)).
3. Diện tích tam giác AOM là 36 cm\(^2\).

Các em nhớ ôn lại các công thức tính diện tích tam giác, diện tích hình chữ nhật và đặc biệt là tính chất của đường trung tuyến trong tam giác nhé. Chúc các em học tốt!