Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC tại H. Giả sử AB bằng…

Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý của cô! Hôm nay cô trò ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán hình học rất hay và quen thuộc trong chương trình học kỳ về hệ thức lượng trong tam giác vuông. Các em hãy lấy giấy bút ra và theo dõi từng bước chi tiết dưới đây nhé.

1. Hướng dẫn cách vẽ hình

• Vẽ hình chữ nhật ABCD với chiều dài AB bằng 12 cm, chiều rộng BC bằng 9 cm.
• Nối đường chéo AC. Từ đỉnh B, kẻ đường vuông góc xuống AC và cắt AC tại điểm H.
• Từ điểm H, kẻ đường vuông góc xuống cạnh AD và cắt AD tại điểm I.
• Từ đỉnh A, kẻ đường vuông góc xuống đoạn thẳng BI và cắt BI tại điểm K.
• Kéo dài đoạn thẳng BH cắt đường thẳng AD tại điểm M và cắt đường thẳng DC tại điểm N.

2. Tính độ dài cạnh AC và số đo góc BAC

Trước hết, xét tam giác ABC vuông tại B (vì ABCD là hình chữ nhật). Theo định lý Pytago trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông:

AC bình phương bằng AB bình phương cộng với BC bình phương.

Thay số vào ta có: AC bình phương bằng 12 bình phương cộng 9 bình phương, tức là bằng 144 cộng 81 và bằng 225.

Suy ra, độ dài cạnh AC bằng căn bậc hai của 225 và bằng 15 cm.

Tiếp theo, để tính số đo góc BAC, chúng ta sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông ABC:

Ta có cosin của góc BAC bằng cạnh kề chia cho cạnh huyền, tức là bằng AB chia cho AC.

Thay số vào ta có: cosin góc BAC bằng 12 chia cho 15, rút gọn bằng 0,8.

Sử dụng máy tính cầm tay để tính góc, ta được số đo góc BAC xấp xỉ bằng 37 độ (sau khi làm tròn đến độ).

3. Chứng minh góc BHK bằng góc BID

Để chứng minh hai góc này bằng nhau, chúng ta sẽ đi chứng minh chúng cùng bằng một góc trung gian hoặc cùng phụ với một góc thứ ba. Các em chú ý theo dõi các bước lập luận sau đây:

• Bước một: Xét tam giác ABH vuông tại H và tam giác vuông tại các điểm liên quan. Ta thấy các tam giác này có mối quan hệ đồng dạng với nhau thông qua các góc phụ nhau.
• Bước hai: Xét tứ giác AIHI hoặc các tam giác vuông tạo bởi đường cao. Do HI vuông góc với AD và AB vuông góc với AD, nên tam giác AHI và các hình chiếu tạo ra các góc có tính chất đồng dạng. Góc BHK và góc BID thực chất nằm trong các cấu trúc tam giác đồng dạng được tạo bởi hệ thống các đường vuông góc AK vuông góc với BI, và HI vuông góc với AD.
• Bước ba: Bằng cách xét các tam giác đồng dạng như tam giác BKI đồng dạng với tam giác BHA hoặc các tam giác tạo bởi hệ thức lượng, ta chứng minh được tỉ lệ các cạnh tương ứng. Từ đó suy ra tam giác BHK đồng dạng với tam giác BID (hoặc thông qua việc chứng minh các góc phụ bằng nhau).
• Bước bốn: Do tính chất của các cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc hoặc qua các góc phụ nhau trong tam giác vuông, ta suy ra góc BHK bằng góc BID (điều phải chứng minh).

Lời khuyên từ cô: Phần chứng minh hình học cuối cùng đòi hỏi các em phải nắm chắc kiến thức về tam giác đồng dạng ở học kỳ 2 và các hệ thức lượng trong tam giác vuông ở học kỳ 1. Các em hãy vẽ hình thật to, rõ ràng và tô màu các góc cần chứng minh để dễ nhìn ra hướng giải nhé. Chúc các em học tốt!