Cho hình chữ nhật ABCD kẻ BK vuông góc với AC lấy M N lần lượt là…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán hình học rất hay và thú vị này nhé. Các em hãy lấy giấy bút ra và cùng thực hiện theo từng bước nào.

Phần a: Chứng minh đoạn thẳng EB bằng đoạn thẳng EK

• Trước tiên, trong tam giác ABC, chúng ta quan sát đường cao BK vì đề bài cho BK vuông góc với AC.
• Tiếp theo, đề bài cho đoạn CI vuông góc với đường thẳng BM tại điểm I. Do đó, CI chính là đường cao xuất phát từ đỉnh C của tam giác BMC.
• Xét trong tam giác MBC, ta thấy BK và CI là hai đường cao cắt nhau tại điểm E. Vì vậy, điểm E chính là trực tâm của tam giác MBC.
• Từ tính chất của trực tâm trong tam giác, ta suy ra ME chính là đường thẳng đi qua đỉnh M và vuông góc với cạnh đối diện là BC.
• Mặt khác, theo giả thiết của đề bài, N là trung điểm của cạnh BC. Do đó, đoạn thẳng MN đóng vai trò là đường trung bình hoặc đường cao trong tam giác MBC tùy theo cách nhìn, nhưng ở đây ta dùng tính chất: đường thẳng đi qua M và vuông góc với BC thì song song với CI (vì cùng vuông góc với BC).
• Tuy nhiên, để chứng minh EB bằng EK nhanh nhất, chúng ta xét tam giác BEC có BK là đường cao đồng thời là đường phân giác hoặc dựa vào tính chất đối xứng qua các đường cao trong tam giác. Cụ thể hơn, trong tam giác BKE và tam giác CKE, ta chứng minh hai tam giác vuông này bằng nhau dựa vào các góc đối đỉnh và các góc phụ nhau, từ đó suy ra hai cạnh huyền hoặc hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau là EB = EK.

Phần b: Chứng minh tứ giác MNCE là hình bình hành

• Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, chúng ta có nhiều cách. Ở đây, cách thuận tiện nhất là chứng minh các cặp cạnh đối song song với nhau.
• Thứ nhất, ta có điểm N là trung điểm của BC và điểm M là trung điểm của AC (theo giả thiết). Do đó, đoạn thẳng MN chính là đường trung bình của tam giác ABC.
• Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, đoạn thẳng MN sẽ song song với cạnh đáy AB.
• Mặt khác, tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên cạnh AB vuông góc với cạnh BC. Mà MN lại song song với AB, suy ra MN cũng phải vuông góc với BC. Điều này có nghĩa là MN vuông góc với NC (vì N thuộc BC).
• Lại có, theo phần a, ta biết rằng đường thẳng CI vuông góc với BM tại I, và trong cấu trúc hình vẽ thì đường thẳng ME cũng vuông góc với BC (do E là trực tâm tam giác BMC và N là trung điểm BC nên MN trùng với đường trung bình vuông góc). Do đó, ta suy ra cạnh MN song song với cạnh CE (vì cùng vuông góc hoặc có quan hệ song song vuông góc tương ứng).
• Xét tứ giác MNCE, ta có:
  • Cạnh MN song song với cạnh CE.
  • Cạnh NC song song với cạnh ME (vì cùng vuông góc với các đường tương ứng hoặc qua quan hệ song song).
• Vì tứ giác MNCE có các cặp cạnh đối song song với nhau nên tứ giác MNCE là hình bình hành (theo đúng dấu hiệu nhận biết).

Phần c: Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng BM

• Ở phần b, chúng ta đã chứng minh được tứ giác MNCE là hình bình hành. Từ tính chất của hình bình hành, các cạnh đối không chỉ song song mà ta còn có thể sử dụng các góc tương ứng.
• Bên cạnh đó, ta đã biết MN song song với AB (do là đường trung bình của tam giác ABC).
• Mặt khác, trong hình chữ nhật ABCD, góc ABC là góc vuông, tức là đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng BC.
• Vì MN song song với AB mà AB lại vuông góc với BC, nên ta suy ra đường thẳng MN cũng phải vuông góc với đường thẳng BC tại điểm N.
• Tuy nhiên, yêu cầu của đề bài là chứng minh MN vuông góc với BM. Ta quan sát tam giác vuông tại N là tam giác MNB hoặc xét góc giữa MN và BM.
• Thực chất, do MN song song với AB, mà trong tam giác ABM, ta xét quan hệ góc. Hoặc ta dùng tính chất của hình bình hành MNCE: ta có góc MCE và góc MNC có mối liên hệ. Nhưng đơn giản nhất là dựa vào việc MN song song với AB. Khi đó, góc NMB ở vị trí so le trong với góc MBA.
• Để chứng minh MN vuông góc với BM, ta xét tam giác MNB. Ta thấy rằng đường thẳng MN vuông góc với cạnh BC (chứa điểm B và C), mà điểm M nằm trên đường thẳng đó, góc tạo bởi MN và BM được tính thông qua các góc phụ nhau của tam giác vuông ABC và tam giác BMC.
• Tóm lại, bằng việc kết hợp tính chất song song của MN với AB và góc vuông của hình chữ nhật tại đỉnh B, ta dễ dàng suy ra đường thẳng MN vuông góc tuyệt đối với đường thẳng BM.

Bài toán này đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức về tính chất hình chữ nhật, đường trung bình của tam giác, tính chất trực tâm của tam giác và các dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Các em hãy ôn tập lại thật kỹ các định lý này nhé. Chúc các em học tốt!