Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.Hai điểm M,N lần lượt nằm trên 2 cạnh…

Chào các em học sinh lớp 11 yêu quý! Hôm nay thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán hình học không gian rất hay và quen thuộc trong chương trình. Đó là bài toán xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng. Thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé.

Bước 1: Phân tích tính chất song song và tìm giao tuyến đầu tiên

• Theo giả thiết, mặt phẳng cần tìm (gọi là mặt phẳng alpha) đi qua điểm M và điểm N, đồng thời song song với mặt phẳng (ACB’).
• Vì mặt phẳng alpha song song với (ACB’) nên nó sẽ phải song song với các đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ACB’), đặc biệt là các đường thẳng AC và AB’.
• Qua điểm M nằm trên cạnh AD, trong mặt phẳng (ADD’A’), ta kẻ đường thẳng đi qua M và song song với đường chéo AC (hoặc song song với một đường thẳng phù hợp trên mặt phẳng đáy). Tuy nhiên, để chính xác hơn trong không gian, ta dựa vào các cạnh của hình hộp.
• Cụ thể, từ điểm M ta vẽ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB tại điểm P. Như vậy, đoạn thẳng MP chính là đoạn giao tuyến của mặt phẳng alpha với mặt đáy (ABCD).

Bước 2: Dựng giao tuyến trên các mặt bên của hình hộp

• Tại điểm P vừa tìm được trên cạnh AB, ta xét mặt phẳng (ABB’A’). Trong mặt phẳng này, ta vẽ đường thẳng đi qua P và song song với đường thẳng AB’ (vì mặt phẳng alpha song song với AB’).
• Đường thẳng này cắt cạnh AA’ tại một điểm, giả sử là điểm Q. Lúc này, đoạn thẳng PQ chính là giao tuyến của mặt phẳng alpha với mặt phẳng (ABB’A’).
• Tiếp theo, ta nối điểm Q với điểm N (nằm trên cạnh CC’). Trong mặt phẳng chứa hai điểm này, ta sẽ tìm được giao điểm của nó với các mặt khác của hình hộp.

Bước 3: Mở rộng giao tuyến để khép kín thiết diện

• Từ điểm N trên cạnh CC’, ta sử dụng tính chất song song với mặt phẳng (ACB’) để dựng các đường thẳng song song với AC ở mặt đáy trên (A’B’C’D’).
• Cụ thể, qua N ta vẽ đường thẳng song song với A’C’ cắt cạnh C’D’ tại điểm R. Đoạn NR chính là giao tuyến của mặt phẳng alpha với mặt đáy trên (A’B’C’D’).
• Từ điểm R, ta tiếp tục vẽ đường thẳng song song với đường chéo của mặt bên để cắt cạnh D’D tại điểm S. Đoạn RS nằm trên mặt (CDD’C’).
• Cuối cùng, ta nối điểm S với điểm M (nằm trên cạnh AD) để hoàn thành đoạn giao tuyến cuối cùng trên mặt phẳng (ADD’A’).

Bước 4: Xác định hình dạng và kết luận về thiết diện

• Sau khi thực hiện các bước dựng hình trên, ta thu được các đoạn giao tuyến lần lượt nằm trên các mặt của hình hộp.
• Các đoạn thẳng nối liền các điểm M, P, Q, N, R, S lại với nhau tạo thành một đa giác khép kín.
• Đa giác đó chính là thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng qua MN và song song với mặt phẳng (ACB’).
• Dựa vào tính chất các đường thẳng song song, thiết diện này thường là một hình ngũ giác hoặc lục giác tùy thuộc vào vị trí cắt cụ thể của điểm M và N trên các cạnh tương ứng.

Như vậy, bằng cách áp dụng linh hoạt tính chất của các đường thẳng song song trong không gian và định lý về giao tuyến của các mặt phẳng song song, chúng ta đã hoàn thành việc xác định thiết diện của bài toán. Chúc các em học tập thật tốt và luôn yêu thích môn Toán hình không gian!