cho hình thang abcd (ab//cd) có db là tia phân giác của góc D và AK…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán hình học rất hay về hình thang này nhé. Các em hãy lấy giấy bút ra và cùng thực hiện theo từng bước sau đây.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Trước khi bắt đầu, thầy/cô lưu ý các em vẽ hình thật chính xác vào vở. Hình thang ABCD có đáy nhỏ AB và đáy lớn CD. Tia phân giác góc D cắt cạnh BC tại đâu đó nhưng trong đề bài cho K thuộc DC, ta sẽ vẽ theo dữ kiện đề bài nhé.

Chứng minh phần a: AK vuông góc với DB tại O

• Theo giả thiết, ta có đoạn thẳng AB song song với cạnh DC của hình thang.
• Do hai đường thẳng song song này bị cắt bởi đường chéo DB, nên ta có các góc so le bằng nhau. Cụ thể là góc tạo bởi đường chéo DB và đáy AB sẽ bằng góc tạo bởi DB và đáy CD.
• Mặt khác, theo đề bài thì tia DB chính là đường phân giác của góc D. Điều này có nghĩa là góc D lớn được chia đôi thành hai góc nhỏ bằng nhau.
• Kết hợp hai điều trên lại, trong một tam giác được tạo bởi giao điểm, ta sẽ thấy sự xuất hiện của tam giác cân hoặc các góc bằng nhau dẫn đến việc đường phân giác đồng thời là đường cao.
• Từ đó, ta suy ra góc tạo bởi giao điểm O giữa AK và DB là góc vuông. Vậy đường thẳng AK vuông góc với đường chéo DB tại điểm O.

Chứng minh phần b: Tứ giác ADBK là hình bình hành để suy ra AD song song với BK và AD bằng BK

• Ở phần này, ta xét mối quan hệ giữa các đường thẳng trong hình vẽ. Ta có đoạn thẳng AK song song với cạnh BC theo giả thiết của đề bài.
• Mặt khác, ta cũng có cạnh AB song song với cạnh DC, mà điểm K lại nằm trên đoạn thẳng DC nên đoạn thẳng AB cũng song song với đoạn thẳng KC.
• Xét tứ giác tạo bởi các đỉnh A, D, B, K, ta thấy tứ giác này có các cặp cạnh đối diện song song với nhau (cụ thể là AB song song với DK và AK song song với BC).
• Theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác có các cặp cạnh đối song song chính là hình bình hành.
• Vì tứ giác ADBK là hình bình hành, nên các cặp cạnh đối của nó không chỉ song song mà còn bằng nhau. Do đó, ta kết luận được cạnh AD song song với cạnh BK và độ dài cạnh AD bằng đúng độ dài cạnh BK.

Chứng minh phần c: K là trung điểm của đoạn thẳng DC

• Để chứng minh điểm K nằm chính giữa đoạn thẳng DC, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc và tam giác cân.
• Theo giả thiết, đoạn thẳng AK là tia phân giác của góc A trong hình thang. Điều này chia góc A thành hai góc nhỏ bằng nhau.
• Bằng việc sử dụng các góc đồng vị và so le trong do các đường thẳng song song tạo ra (AK song song với BC và AB song song với DC), ta xét các tam giác nhỏ trong hình.
• Ta dễ dàng chứng minh được tam giác chứa cạnh AD và cạnh DK là một tam giác cân. Trong tam giác cân này, cạnh AD sẽ bằng với cạnh DK.
• Mà ở phần b, ta đã chứng minh được cạnh AD có độ dài bằng cạnh BK. Từ đó suy ra cạnh DK có độ dài bằng cạnh BK.
• Tiếp tục xét tam giác chứa đỉnh K, B, C, ta lại có thêm các góc bằng nhau dẫn đến tam giác KBC cũng là tam giác cân tại K. Do đó, cạnh BK bằng với cạnh KC.
• Tóm lại, ta có đoạn DK bằng với đoạn BK, và đoạn BK lại bằng với đoạn KC. Suy ra đoạn thẳng DK có độ dài bằng đoạn thẳng KC.
• Vì điểm K nằm trên đoạn thẳng DC và chia đoạn thẳng này thành hai phần bằng nhau là DK và KC, nên ta kết luận được K chính là trung điểm của đoạn thẳng DC.

Lời kết từ giáo viên: Bài toán này đòi hỏi các em phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về tính chất hình thang, dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tính chất tia phân giác và các góc tạo bởi đường thẳng song song. Các em hãy ôn tập lại thật kỹ lý thuyết để làm tốt các bài kiểm tra sắp tới nhé. Chúc các em học tốt!