Cho hình vuông ABCD. AB = a. Tính P = |(→AC) – (→BD)
Chào em, đây là một câu hỏi rất hay trong chương trình Hình học lớp 10, giúp các em rèn luyện kỹ năng biến đổi vectơ và tính độ dài đoạn thẳng. Thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết từng bước nhé.
Bước 1: Phân tích yêu cầu của bài toán
Đề bài yêu cầu chúng ta tính độ dài của hiệu hai vectơ, cụ thể là vectơ AC trừ đi vectơ BD. Ký hiệu P chính là độ dài của vectơ hiệu này.
Bước 2: Biến đổi biểu thức vectơ bên trong dấu giá trị tuyệt đối
Để dễ dàng tính toán, chúng ta cần đưa hiệu hai vectơ này về chung một điểm đầu hoặc gộp chúng lại. Tuy nhiên, ở đây ta có hai đường chéo của hình vuông. Hãy nhớ lại tính chất của hình vuông ABCD tâm O:
- Hai đường chéo AC và BD có độ dài bằng nhau và bằng cạnh nhân với căn bậc hai của 2.
- Hai đường chéo này vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Bước 3: Thực hiện phép tính hình học
Vì việc trừ trực tiếp hai vectơ chéo nhau khá phức tạp, chúng ta có thể chọn cách dựng hình hoặc sử dụng hệ trục tọa độ OXY cho dễ hình dung. Thầy hướng dẫn cách dùng hình học thuần túy:
- Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
- Ta có thể phân tích các vectơ đi qua tâm O, nhưng cách nhanh nhất là đặt tính chất vuông góc của hai đường chéo.
- Thực tế, độ dài của hiệu hai vectơ vuông góc bằng căn bậc hai tổng bình phương độ dài của chúng (tương tự quy tắc hình bình hành hoặc định lý Pit-go cho vectơ hiệu).
- Cụ thể, độ dài vectơ AC chính là độ dài đoạn thẳng AC. Độ dài vectơ BD chính là độ dài đoạn thẳng BD.
- Vì ABCD là hình vuông cạnh a, ta dễ dàng tính được độ dài đường chéo AC = a nhân căn bậc hai của 2, và BD = a nhân căn bậc hai của 2.
- Khi hai vectơ vuông góc với nhau (vectơ AC vuông góc với vectơ BD), độ lớn của hiệu hai vectơ này sẽ được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương độ dài hai vectơ thành phần.
Bước 4: Tính toán kết quả cuối cùng
- Bình phương độ dài vectơ AC là: (a nhân căn bậc hai của 2) bình phương = 2 nhân a bình phương.
- Bình phương độ dài vectơ BD là: (a nhân căn bậc hai của 2) bình phương = 2 nhân a bình phương.
- Cộng lại ta được: 2 nhân a bình phương cộng 2 nhân a bình phương bằng 4 nhân a bình phương.
- Lấy căn bậc hai của kết quả trên, ta được: căn bậc hai của (4 nhân a bình phương) = 2 nhân a.
Kết luận: Giá trị của biểu thức P cần tìm là 2 nhân a. Thầy hy vọng lời giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ bản chất và tự tin giải các bài tập tương tự nhé!
\(P=|vec(AC)-vec(BD)|\)
\(P=|vec(AC)+vec(DB)|\)
\(P=|(vec(AB)+vec(AD))+(vec(AB)+vec(DA))|\)
\(P=|(vec(AB)+vec(AD))+(vec(AB)-vec(AD))|\)
\(P=|2vec(AB)|\)
\(P=2|vec(AB)|\)
\(P=2AB\)
\(P=2a\)
\(P = | \vec{AC} – \vec{BD} |\)
\(P = | \vec{AB}+\vec{BC} – ( \vec{BC} + \vec{CD} ) |\)
\(P = | \vec{AB} + \vec{BC} – \vec{BC} – \vec{CD} |\)
\(P = | vec{AB} – \vec{BA} |\)
\(P = | \vec{AB} + \vec{AB} | = 2|vec{AB}| = 2a\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment