Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về vecto trong hình học. Bài toán yêu cầu chúng ta tính độ dài của một hiệu hai vecto trong hình vuông.

Bài toán: Cho hình vuông ABCD. Biết độ dài cạnh AB = a. Tính giá trị của biểu thức P = |\( \vec{AC} \) – \( \vec{BD} \)|.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua các bước sau:

Bước 1: Phân tích các vecto trong hình vuông.

Trong hình vuông ABCD, ta có:

• \( \vec{AC} \) là vecto đường chéo đi từ đỉnh A đến đỉnh C.
• \( \vec{BD} \) là vecto đường chéo đi từ đỉnh B đến đỉnh D.

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các vecto.

Ta cần tính \( \vec{AC} \) – \( \vec{BD} \). Để làm được điều này, chúng ta có thể sử dụng quy tắc trừ vecto hoặc biến đổi vecto dựa trên các tính chất của hình vuông.

Cách 1: Sử dụng quy tắc cộng/trừ vecto.

Chúng ta có thể chọn một điểm gốc chung để biểu diễn các vecto. Ví dụ, chọn điểm A làm gốc:

• \( \vec{AC} \) = \( \vec{AB} \) + \( \vec{AD} \)

Đối với \( \vec{BD} \), ta có thể viết lại như sau:

• \( \vec{BD} \) = \( \vec{AD} \) – \( \vec{AB} \) (Sử dụng quy tắc trừ vecto: \( \vec{XY} \) – \( \vec{XZ} \) = \( \vec{ZY} \))

Bây giờ, chúng ta thay thế vào biểu thức cần tính:

• \( \vec{AC} \) – \( \vec{BD} \) = (\( \vec{AB} \) + \( \vec{AD} \)) – (\( \vec{AD} \) – \( \vec{AB} \))
• \( \vec{AC} \) – \( \vec{BD} \) = \( \vec{AB} \) + \( \vec{AD} \) – \( \vec{AD} \) + \( \vec{AB} \)
• \( \vec{AC} \) – \( \vec{BD} \) = \( \vec{AB} \) + \( \vec{AB} \)
• \( \vec{AC} \) – \( \vec{BD} \) = 2 \( \vec{AB} \)

Cách 2: Sử dụng tính chất của hình vuông.

Ta biết rằng trong hình vuông, hai đường chéo \( \vec{AC} \) và \( \vec{BD} \) có độ dài bằng nhau và vuông góc với nhau. Tuy nhiên, việc sử dụng tính chất vuông góc ở đây có thể phức tạp hơn để tính hiệu.

Thay vào đó, chúng ta có thể biểu diễn \( \vec{BD} \) theo các cạnh của hình vuông theo một cách khác. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo:

• \( \vec{AC} \) = \( \vec{AO} \) + \( \vec{OC} \). Vì \( \vec{OC} \) = \( \vec{AO} \), nên \( \vec{AC} \) = 2 \( \vec{AO} \).
• \( \vec{BD} \) = \( \vec{BO} \) + \( \vec{OD} \). Vì \( \vec{OD} \) = \( \vec{BO} \), nên \( \vec{BD} \) = 2 \( \vec{BO} \).

Tuy nhiên, việc tính hiệu \( \vec{AC} \) – \( \vec{BD} \) bằng cách này không trực tiếp đưa về một vecto đơn giản như cách 1.

Quay lại với cách 1, chúng ta đã thu được kết quả \( \vec{AC} \) – \( \vec{BD} \) = 2 \( \vec{AB} \). Đây là một biểu diễn rất đẹp và hữu ích.

Bước 3: Tính độ dài của vecto hiệu.

Chúng ta cần tính P = |\( \vec{AC} \) – \( \vec{BD} \)|.

Từ Bước 2, ta có:

• \( \vec{AC} \) – \( \vec{BD} \) = 2 \( \vec{AB} \)

Vậy, độ dài của vecto hiệu là:

• P = |2 \( \vec{AB} \)|

Theo định nghĩa, độ dài của một vecto \( k \cdot \vec{v} \) là \( |k| \cdot |\vec{v}| \). Ở đây, k = 2 và \( \vec{v} \) = \( \vec{AB} \).

• P = |2| \( \cdot \) |\( \vec{AB} \)|
• P = 2 \( \cdot \) \( AB \)

Đề bài cho biết độ dài cạnh AB = a.

• P = 2 \( \cdot \) a
• P = 2a

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức P = |\( \vec{AC} \) – \( \vec{BD} \)| là 2a.

Các em thấy không, chỉ cần vận dụng quy tắc trừ vecto một cách khéo léo, chúng ta đã có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. Hãy nhớ ôn tập kỹ các quy tắc về vecto nhé!