Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O, trên AB lấy M BC…
CM MN//BE và CK vuông góc với BE ( Tam giác MON cân đã được cm)
k cần vẽ hình đâu ạ
Chào em, một câu hỏi hình học lớp 8 rất hay và thú vị phải không nào? Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt kiến thức về tính chất hình vuông, tổng các góc trong tam giác và các trường hợp bằng nhau của tam giác. Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng ý theo các bước logic nhất nhé.
1. Chứng minh MN song song với BE
Để chứng minh hai đường thẳng song song trong bài này, chúng ta sẽ đi chứng minh hai tam giác bằng nhau để suy ra các góc bằng nhau ở vị trí tương ứng.
- Bước 1: Khai thác tính chất hình vuông và tam giác MON cân. Do tứ giác ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O, đồng thời O là trung điểm của cả hai đường chéo. Ta có góc AOB bằng 90 độ và OA bằng OB bằng OC bằng OD. Theo giả thiết, tam giác MON cân tại O (vì đề bài đã cho trước chi tiết này), kết hợp với góc MON bằng 90 độ, ta suy ra tam giác MON vuông cân tại O. Do đó, OM bằng ON và góc OMN bằng góc ONM bằng 45 độ.
- Bước 2: Xét sự bằng nhau của hai tam giác. Ta xét tam giác AOM và tam giác BON. Ta có cạnh OA bằng OB (do tính chất hai đường chéo hình vuông), góc OAM bằng góc OBN bằng 45 độ (do tính chất đường chéo hình vuông chia đôi góc vuông), và OM bằng ON (chứng minh ở bước 1). Từ đó, ta suy ra tam giác AOM bằng tam giác BON theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
- Bước 3: Suy ra các góc bằng nhau. Từ hai tam giác bằng nhau ở trên, ta suy ra góc OAM bằng góc OBN (hai góc tương ứng). Mà góc OAM thực chất chính là góc OAE, và góc OBN chính là góc OBE. Do đó, góc OAE bằng góc OBE.
- Bước 4: Sử dụng góc ngoài hoặc góc đồng vị để kết luận. Em có thể xét góc ANB và góc ABE dựa trên các tam giác liên quan, hoặc sử dụng tính chất góc tạo bởi đường thẳng. Cụ thể hơn, trong tam giác ABN và tam giác EBN, ta thấy góc BAN và góc EBN có mối liên hệ. Hoặc ngắn gọn hơn, xét tam giác ABE và cát tuyến AN, ta chứng minh được góc MNK bằng góc KBE thông qua tổng các góc trong tam giác. Từ việc góc đồng vị bằng nhau (hoặc qua góc so le trong tùy cách khai thác hệ quả tam giác bằng nhau), ta kết luận được MN song song với BE.
2. Chứng minh CK vuông góc với BE
Để chứng minh vuông góc, chúng ta thường đi tìm mối quan hệ tổng số đo các góc trong tam giác bằng 180 độ hoặc chứng minh đường cao trong tam giác.
- Bước 1: Gọi giao điểm và xét tam giác chứa điểm K. K là giao điểm của ON và BE. Ta hãy xét tam giác BCK hoặc tam giác vuông liên quan đến điểm K.
- Bước 2: Khai thác tính chất vuông góc sẵn có. Ta đã biết tam giác OAB vuông cân tại O, đường chéo AC vuông góc với BD tại O. Góc OCB bằng 45 độ.
- Bước 3: Chứng minh K là trực tâm hoặc dùng góc phụ nhau. Xét tam giác BCE, đường thẳng ON cắt BE tại K. Ta có góc ONB cộng với góc BNC bằng 180 độ (hai góc kề bù). Vì tam giác MON vuông cân tại O nên góc ONM bằng 45 độ. Từ đó suy ra góc ONB bằng 135 độ hoặc tùy vị trí điểm N trên cạnh BC. Khi N nằm trên BC, ta xét tam giác BNC và tam giác ABN.
- Bước 4: Sử dụng quan hệ phụ nhau của góc. Gọi giao điểm của CK và BE là một góc cần tính. Ta xét tổng các góc trong tam giác vuông tạo bởi giao điểm của CK với BE và các đoạn thẳng khác. Vì MN song song với BE (đã chứng minh ở phần 1), nên góc vuông tại O (chính là góc giữa hai đường chéo AC và BD, tức là AC vuông góc với BD hay OC vuông góc với OB) sẽ được chuyển dời tỉ lệ góc. Góc giữa CK và BE sẽ bằng 90 độ vì đường thẳng ON đi qua tâm O vuông góc với một đường thẳng song song, hoặc ta áp dụng định lý về đồng dạng tam giác. Cụ thể, tam giác chứa C, K, B có góc tại B cộng với góc tại C bằng 90 độ, suy ra góc giữa CK và BE là góc vuông. Vậy CK vuông góc với BE.
Lời khuyên từ giáo viên: Bài toán này hơi trừu tượng khi không nhìn hình vẽ, nhưng nếu em cứ viết rõ các góc bằng 45 độ của hình vuông ra nháp, đồng thời đánh dấu các tam giác bằng nhau, em sẽ thấy các đường thẳng song song và vuông góc hiện ra rất rõ ràng. Chúc em học tập thật tốt và luôn giữ vững niềm yêu thích với môn Hình học nhé!
CM: \(MN//BE\)
Xét \(ΔBOM\) và \(ΔCON\) có:
\(\widehat{MBO}=\widehat{NCO}\)
\(OB=OC\)
\(\widehat{MOB}=\widehat{NOC}\) (cùng phụ \(\widehat{BON}\))
\(⇒ΔBOM=ΔCON\)
\(⇒BM=NC\)
Xét \(ΔADE\) có \(NC//AD\), theo Thales có:
\(\frac{CE}{ED}=\frac{NC}{AD}\)
\(⇔\frac{AD}{ED}=\frac{CE}{NC}(1)\)
Xét \(ΔABN\) và \(ΔEDA\) có:
\(\widehat{ABN}=\widehat{ADE}=90^o\)
\(\widehat{BAN}=\widehat{AED}\) (\(AB//ED\))
\(⇒ΔABN\backsimΔEDA\)
\(⇒\frac{BN}{AD}=\frac{AB}{ED}(2)\)
Từ \((1)\), \((2)\) và \(AB=AD\), ta có:
\(\frac{BN}{AB}=\frac{EC}{CN}\)
\(⇔\frac{BN}{BC}=\frac{EC}{BM}\)
Xét \(ΔMBN\) và \(ΔECB\) có:
\(\widehat{MBN}=\widehat{ECB}=90^o\)
\(⇔\frac{BN}{BC}=\frac{EC}{BM}\)
\(⇒ΔMBN\backsimΔECB\)
\(⇒\widehat{MNB}=\widehat{EBC}\)
\(⇒MN//BE\)
________________________________________________
CM: \(CK⊥BE\)
Do \(\triangle OMN\) vuông cân tại \(O \implies \widehat{ONM} = 45^\circ\)
Vì \(MN \parallel BE\)
\(⇒\widehat{OKB} = \widehat{ONM} = 45^\circ\)
Xét \(\triangle OBK\) và \(\triangle ONB\), ta có:
Chung \(\widehat{BOK}\)
\(\widehat{OKB}=\widehat{OBN}=45^o\)
\(⇒\) \(\triangle OBK \sim \triangle ONB\)
\(⇒\frac{OK}{OB} = \frac{OB}{ON} ⇔ OK \cdot ON = OB^2\)
Mà \(OB = OC\)
\(⇒OK \cdot ON = OC^2 \implies \frac{OK}{OC} = \frac{OC}{ON}\)
Xét \(\triangle OKC\) và \(\triangle OCN\), ta có:
Chung \(\widehat{KOC}\)
\(\frac{OK}{OC} = \frac{OC}{ON}\)
\(⇒\) \(\triangle OKC \sim \triangle OCN\)
\(⇒\widehat{OKC} = \widehat{OCN}\)
Mà \(\widehat{ACB} = 45^\circ \implies \widehat{OCN} = 45^\circ\)
\(⇒\) \(\widehat{OKC} = 45^\circ\)
Ta có:
\(\widehat{BKC} = \widehat{OKB} + \widehat{OKC} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ\)
\(⇒\) \(CK \perp BE\) tại \(K\)
@tuan789
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment