Cho hình vuông ABCD, lấy điểm E trên cạnh BC và điểm F trên cạnh CD…

Chào các em học sinh lớp 9. Với bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông và tính chất của tiếp tuyến đường tròn để giải quyết. Các em hãy theo dõi từng bước lập luận dưới đây nhé.

1. Phân tích các đoạn thẳng theo cạnh hình vuông

Gọi cạnh của hình vuông ABCD là a (với a lớn hơn 0). Theo đề bài, ta có:

• AB = a
• Vì AB = 3BE nên BE = a / 3
• Vì AB = 2DF nên DF = a / 2

Từ đó, ta tính được các đoạn thẳng còn lại trên các cạnh của hình vuông:

• EC = BC – BE = a – a/3 = 2a/3
• FC = CD – DF = a – a/2 = a/2

2. Tính độ dài đoạn thẳng EF

Xét tam giác ECF vuông tại C (do ABCD là hình vuông), theo định lý Pytago ta có:

EF bình phương = EC bình phương + FC bình phương

EF bình phương = (2a/3) bình phương + (a/2) bình phương

EF bình phương = 4a bình phương / 9 + a bình phương / 4

Quy đồng mẫu số chung là 36, ta được: EF bình phương = (16a bình phương + 9a bình phương) / 36 = 25a bình phương / 36

Suy ra: EF = 5a / 6

3. Chứng minh EF tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB

Để chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính R = AB = a, ta cần chứng minh khoảng cách từ tâm A đến đường thẳng EF đúng bằng bán kính a.

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến EF. Ta cần chứng minh AH = a.

Xét tam giác AEF, diện tích của tam giác này có thể tính bằng hai cách:

• Cách 1: Diện tích AEF = (1/2) * AH * EF
• Cách 2: Diện tích AEF = Diện tích ABCD – (Diện tích ABE + Diện tích ADF + Diện tích ECF)

Tính diện tích các tam giác vuông:

• Diện tích ABE = 1/2 * AB * BE = 1/2 * a * (a/3) = a bình phương / 6
• Diện tích ADF = 1/2 * AD * DF = 1/2 * a * (a/2) = a bình phương / 4
• Diện tích ECF = 1/2 * EC * FC = 1/2 * (2a/3) * (a/2) = a bình phương / 6

Tổng diện tích 3 tam giác này là: a bình phương / 6 + a bình phương / 4 + a bình phương / 6 = (2a bình phương + 3a bình phương + 2a bình phương) / 12 = 7a bình phương / 12.

Diện tích tam giác AEF = a bình phương – 7a bình phương / 12 = 5a bình phương / 12.

4. Kết luận

Ta có: (1/2) * AH * (5a / 6) = 5a bình phương / 12

AH * (5a / 12) = 5a bình phương / 12

Suy ra AH = a.

Vì khoảng cách từ tâm A đến đường thẳng EF bằng đúng bán kính AB (AH = AB = a), nên theo dấu hiệu nhận biết, đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB tại H. Điều phải chứng minh.