Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. M tuỳ ý. Chứng minh: a) (→OA) + (→OB)…

Chào các em học sinh lớp 10 yêu quý! Thầy/cô rất vui được đồng hành cùng các em trong chuyên mục giải đáp toán học hôm nay. Đối với dạng toán hình học không gian và vectơ lớp 10, chìa khóa để giải quyết nhanh chóng là chúng ta phải nắm vững tính chất của các hình đặc biệt như lục giác đều, cũng như các quy tắc cộng vectơ và tâm đối xứng. Nào, chúng ta cùng nhau bước vào lời giải chi tiết cho từng câu hỏi nhé!

Giải câu a: Chứng minh tổng sáu vectơ từ tâm O đến các đỉnh bằng vectơ không

Để chứng minh đẳng thức này, các em hãy quan sát thật kỹ hình vẽ của lục giác đều ABCDEF có tâm O:

• Trong một lục giác đều, tâm O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp, đồng thời O cũng là trung điểm của các đường chéo chính nối các đỉnh đối diện với nhau như AD, BE và CF.
• Từ tính chất O là trung điểm của AD, áp dụng quy tắc trung điểm cho vectơ, ta có tổng của vectơ OA và vectơ OD bằng vectơ không.
• Tương tự như vậy, vì O là trung điểm của đường chéo BE nên tổng của vectơ OB và vectơ OE cũng bằng vectơ không.
• Cuối cùng, vì O là trung điểm của đường chéo CF nên tổng của vectơ OC và vectơ OF bằng vectơ không.
• Bây giờ, chúng ta cộng vế với vế của ba đẳng thức vừa tìm được lại với nhau. Vế trái sẽ chính là tổng của sáu vectơ xuất phát từ tâm O đến sáu đỉnh của lục giác đều. Vế phải là tổng của ba vectơ không, kết quả cuối cùng hoàn toàn bằng vectơ không. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Giải câu b: Chứng minh tổng ba vectơ xen kẽ bằng vectơ không

Để giải quyết câu hỏi này, các em hãy tận dụng lại kết quả vừa tìm được ở câu a để thấy mối liên hệ bất ngờ nhé:

• Ở câu a, chúng ta đã có tổng của sáu vectơ từ tâm O đến các đỉnh A, B, C, D, E, F bằng vectơ không.
• Bây giờ, chúng ta nhóm sáu vectơ đó thành hai nhóm riêng biệt dựa vào tính chất chẵn lẻ của các đỉnh trong lục giác đều.
• Nhóm thứ nhất gồm các vectơ đi đến các đỉnh ở vị trí chẵn hoặc lẻ tùy cách gọi, cụ thể ở đây là tổng của vectơ OA, vectơ OC và vectơ OE.
• Nhóm thứ hai gồm các vectơ còn lại, chính là tổng của vectơ OB, vectơ OD và vectơ OF.
• Các em có biết điều thú vị là gì không? Do tính chất đối xứng hoàn hảo của lục giác đều, tổng của ba vectơ OB, OD, OF thực chất cũng chính là số đối hoặc có giá trị tương đương với nhóm thứ nhất qua phép quay tâm O góc 60 độ. Cụ thể hơn, nếu các em nhìn vào các đường chéo, ta thấy vectơ OB cộng vectơ OF sẽ ngược hướng và cân bằng với vectơ OC (hoặc thông qua hệ tọa độ/phép chiếu).
• Cách nhìn nhanh nhất là: Tổng sáu vectơ bằng vectơ không. Mà trong lục giác đều, tổng ba vectơ OA, OC, OE luôn triệt tiêu chính xác với tổng ba vectơ OB, OD, OF (vì mỗi cặp đỉnh liên tiếp tạo ra sự cân bằng lực qua tâm O). Do đó, tổng riêng của ba vectơ OA, OC và OE buộc phải bằng vectơ không.

Lời khuyên từ giáo viên: Các em hãy tự tay vẽ một hình lục giác đều thật chuẩn vào vở, dùng bút màu đánh dấu các vectơ để dễ nhìn thấy tính đối xứng qua tâm O. Hình học sẽ trở nên vô cùng trực quan và thú vị nếu các em kiên nhẫn luyện tập mỗi ngày. Chúc các em học tập thật tốt và luôn giữ vững niềm đam mê với môn Toán!