Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán liên quan đến mệnh đề chứa biến và tính chia hết. Đề bài của chúng ta là:

Cho mệnh đề chứa biến P(n): \(n^{2}\) – 1 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.

Chúng ta cần xác định xem mệnh đề này là đúng hay sai.

Để một mệnh đề kiểu “với mọi số nguyên n” là đúng, thì nó phải đúng với tất cả các giá trị số nguyên n. Ngược lại, chỉ cần chúng ta tìm được một giá trị của n mà mệnh đề đó không đúng, thì toàn bộ mệnh đề sẽ là sai.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau kiểm tra với một vài giá trị cụ thể của n nhé:

• Nếu \(n = 1\):
  Ta có \(n^{2} – 1 = 1^{2} – 1 = 1 – 1 = 0\).
  Vì \(0\) chia hết cho \(4\) (vì \(0 = 0 \times 4\)), nên P(1) là mệnh đề đúng.
• Nếu \(n = 2\):
  Ta có \(n^{2} – 1 = 2^{2} – 1 = 4 – 1 = 3\).
  Vì \(3\) không chia hết cho \(4\) (vì \(3\) chia \(4\) dư \(3\)), nên P(2) là mệnh đề sai.
• Nếu \(n = 3\):
  Ta có \(n^{2} – 1 = 3^{2} – 1 = 9 – 1 = 8\).
  Vì \(8\) chia hết cho \(4\) (vì \(8 = 2 \times 4\)), nên P(3) là mệnh đề đúng.

Chúng ta vừa tìm thấy một trường hợp cụ thể (khi \(n = 2\)) mà \(n^{2} – 1\) không chia hết cho 4. Điều này có nghĩa là mệnh đề “với mọi số nguyên n, \(n^{2} – 1\) chia hết cho 4” là sai.

Kết luận: Mệnh đề đã cho là sai.

Giải thích thêm (để các em hiểu rõ hơn bản chất của vấn đề):

Để hiểu rõ hơn tại sao mệnh đề này sai, chúng ta có thể xét hai trường hợp của số nguyên n:

Trường hợp 1: n là số chẵn.
Khi n là số chẵn, ta có thể viết \(n = 2k\) với \(k\) là một số nguyên bất kỳ.
Thay \(n = 2k\) vào biểu thức \(n^{2} – 1\), ta được:
\(n^{2} – 1 = (2k)^{2} – 1 = 4k^{2} – 1\).
Để kiểm tra tính chia hết cho 4, ta có thể viết lại biểu thức này như sau:
\(4k^{2} – 1 = 4k^{2} – 4 + 3 = 4(k^{2} – 1) + 3\).
Rõ ràng, biểu thức này khi chia cho 4 sẽ có số dư là 3, tức là nó không chia hết cho 4.
Ví dụ: Với \(n=2\) (tức là \(k=1\)), ta có \(4(1^2-1)+3 = 4(0)+3 = 3\), không chia hết cho 4.

Trường hợp 2: n là số lẻ.
Khi n là số lẻ, ta có thể viết \(n = 2k + 1\) với \(k\) là một số nguyên bất kỳ.
Thay \(n = 2k + 1\) vào biểu thức \(n^{2} – 1\), ta được:
\(n^{2} – 1 = (2k + 1)^{2} – 1\).
Áp dụng hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), ta có:
\((2k + 1)^{2} – 1 = (4k^{2} + 4k + 1) – 1 = 4k^{2} + 4k\).
Ta có thể đặt nhân tử chung là 4:
\(4k^{2} + 4k = 4(k^{2} + k)\).
Rõ ràng, biểu thức này có dạng \(4\) nhân với một số nguyên (\(k^{2} + k\)), nên nó luôn chia hết cho 4.
Ví dụ: Với \(n=3\) (tức là \(k=1\)), ta có \(4(1^2+1) = 4(1+1) = 4(2) = 8\), chia hết cho 4.

Như vậy, \(n^{2} – 1\) chỉ chia hết cho 4 khi n là số lẻ, chứ không phải với mọi số nguyên n (đặc biệt là không đúng khi n là số chẵn). Do đó, mệnh đề ban đầu là sai.

Các em có câu hỏi gì không? Hãy mạnh dạn hỏi nhé!