Bài toán: Cho mệnh đề P: “\(\forall x \in \mathbb{R}: -x^2+2mx-4<0\)", \(m\) là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để mệnh đề P đúng?

Phân tích bài toán:

Mệnh đề P là một mệnh đề dạng “với mọi \(x\) thuộc tập số thực, biểu thức \(-x^2+2mx-4\) luôn luôn nhỏ hơn 0”. Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số \(y = -x^2+2mx-4\) phải nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành.

Hàm số \(y = -x^2+2mx-4\) là một hàm bậc hai. Đồ thị của nó là một parabol.

Vì hệ số của \(x^2\) là \(-1\) (âm), nên parabol sẽ có bề lõm quay xuống.

Để đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành, parabol đó không được cắt hoặc tiếp xúc với trục hoành. Nghĩa là, phương trình \(-x^2+2mx-4 = 0\) phải không có nghiệm thực.

Giải bài toán:

Chúng ta xét bất phương trình bậc hai: \(-x^2+2mx-4<0\).

Để mệnh đề P đúng, bất phương trình này phải đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = -x^2+2mx-4\).

Đây là một tam thức bậc hai có hệ số \(a = -1\). Vì \(a < 0\), parabol có bề lõm quay xuống.

Để \(f(x) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), điều kiện cần và đủ là phương trình \(f(x) = 0\) (tức là \(-x^2+2mx-4 = 0\)) không có nghiệm thực.

Một phương trình bậc hai \(Ax^2+Bx+C=0\) không có nghiệm thực khi và chỉ khi biệt thức \(\Delta = B^2-4AC < 0\).

Trong trường hợp của chúng ta, phương trình là \(-x^2+2mx-4 = 0\). Ta có:

• \(A = -1\)
• \(B = 2m\)
• \(C = -4\)

Tính biệt thức \(\Delta\):

\(\Delta = (2m)^2 – 4(-1)(-4)\)

\(\Delta = 4m^2 – 16\)

Điều kiện để phương trình không có nghiệm thực là \(\Delta < 0\).

Do đó, ta có bất phương trình:

\(4m^2 – 16 < 0\)

Giải bất phương trình này:

\(4m^2 < 16\)

\(m^2 < 4\)

Để \(m^2 < 4\), ta có:

\(-2 < m < 2\)

Bài toán yêu cầu tìm số lượng giá trị nguyên của \(m\). Các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn \(-2 < m < 2\) là:

\(m \in \{-1, 0, 1\}\)

Có tất cả 3 giá trị nguyên của \(m\) để mệnh đề P đúng.

Đáp án: Có 3 giá trị nguyên của \(m\) để mệnh đề P đúng.