Xin chào các em học sinh! Thầy rất vui khi được hướng dẫn các em giải bài tập Vật lý này. Đây là một bài toán thú vị về dao động điều hoà, đòi hỏi chúng ta phải hiểu rõ mối liên hệ giữa tốc độ, biên độ và thời gian trong một chu kỳ dao động.

Chúng ta cùng phân tích đề bài và giải quyết từng bước một nhé!

Đề bài:

Cho một chất điểm đang dao động điều hoà với tần số \(f = 2 \text{ Hz}\). Trong mỗi chu kỳ dao động, quãng thời gian mà tốc độ chuyển động của vật lớn hơn \(4 \text{ cm/s}\) là \(1/6 \text{ s}\). Hãy tìm biên độ dao động của chất điểm.

Phân tích đề bài và các đại lượng đã biết:

• Chất điểm dao động điều hoà.
• Tần số dao động: \(f = 2 \text{ Hz}\).
• Quãng thời gian mà tốc độ \(|v|\) lớn hơn \(v_0 = 4 \text{ cm/s}\) trong mỗi chu kỳ là \(\Delta t = 1/6 \text{ s}\).
• Cần tìm biên độ dao động: \(A\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính các đại lượng liên quan đến tần số và chu kỳ.

Với tần số \(f = 2 \text{ Hz}\), ta có thể tính được:

• Chu kỳ dao động:
  \(T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ s}\).
• Tần số góc:
  \(\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi \text{ rad/s}\).

Bước 2: Viết biểu thức của tốc độ trong dao động điều hoà.

Giả sử phương trình dao động của chất điểm là \(x = A \cos(\omega t + \phi)\).

Khi đó, vận tốc của chất điểm là:
\(v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)\).

Tốc độ của chất điểm là giá trị tuyệt đối của vận tốc:
\(|v| = A\omega |\sin(\omega t + \phi)|\).

Tốc độ cực đại của vật là \(v_{max} = A\omega\).

Bước 3: Xác định điều kiện về thời gian mà tốc độ chuyển động lớn hơn \(v_0 = 4 \text{ cm/s}\).

Chúng ta được cho rằng quãng thời gian mà \(|v| > v_0 = 4 \text{ cm/s}\) trong mỗi chu kỳ là \(\Delta t = 1/6 \text{ s}\).

Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp vòng tròn lượng giác (hay còn gọi là giản đồ Fresnel). Khi vật dao động điều hoà, tốc độ của vật đạt giá trị cực đại \(v_{max}\) tại vị trí cân bằng (\(x=0\)) và bằng \(0\) tại hai biên (\(x = \pm A\)).

Tốc độ \(|v|\) lớn hơn một giá trị \(v_0\) khi vật ở gần vị trí cân bằng hơn. Tức là, vật có tốc độ \(|v| > v_0\) khi nó nằm trong khoảng \((-x_0, x_0)\), với \(x_0\) là vị trí mà tại đó tốc độ của vật bằng \(v_0\).

Mối liên hệ giữa \(x\), \(v\) và \(A\), \(\omega\) là:
\(A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}\).

Tại vị trí \(x_0\) có tốc độ \(v_0\), ta có:
\(A^2 = x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}\).

Từ đó suy ra:
\(x_0^2 = A^2 – \frac{v_0^2}{\omega^2}\)
\(x_0 = \pm \sqrt{A^2 – \frac{v_0^2}{\omega^2}}\).

Khi \(|v| > v_0\), thì \(|x| < |x_0|\), tức là vật đang ở trong khoảng từ \(-x_0\) đến \(x_0\).

Để dễ hình dung về thời gian, ta có thể dùng vòng tròn lượng giác với trục hoành biểu diễn li độ \(x\).
Thời gian để vật đi từ \(x_0\) đến biên \(A\), rồi quay về \(-x_0\), sau đó đi đến biên \(-A\) rồi quay về \(x_0\) sẽ bằng tổng thời gian trong một chu kỳ.

Thời gian để vật có tốc độ \(|v| > v_0\) tương ứng với quãng đường mà vật di chuyển trong khoảng \((-x_0, x_0)\).

Trên vòng tròn lượng giác, gọi \(\alpha\) là góc mà \(\cos \alpha = \frac{|x_0|}{A}\).
Vì \(x = A \cos(\omega t + \phi)\), nên khi \(x = \pm x_0\), ta có \(\cos(\omega t + \phi) = \pm \frac{x_0}{A}\).

Ta có công thức:
\(\left(\frac{v}{v_{max}}\right)^2 + \left(\frac{x}{A}\right)^2 = 1\).
Nếu ta đặt \(v_0 = v_{max} \sin \alpha_0\), thì khi đó \(\(\left(\frac{x_0}{A}\right)^2 = 1 – \sin^2 \alpha_0 = \cos^2 \alpha_0\)\).
Vậy \(|x_0| = A \cos \alpha_0\).

Trong một chu kỳ, có 4 lần vật đi qua vị trí có tốc độ bằng \(v_0\).
Thời gian để tốc độ \(|v|\) lớn hơn \(v_0\) trong một chu kỳ là tổng thời gian vật đi từ \(-x_0\) đến \(x_0\) và ngược lại.

Trên vòng tròn lượng giác, mỗi khi \(x\) nằm trong khoảng \((-x_0, x_0)\), tức là \(|\cos(\omega t + \phi)| < \cos \alpha_0\).

Các em hãy hình dung trên vòng tròn đơn vị:
Góc quét từ \(-\alpha_0\) đến \(\alpha_0\) (tức là \(2\alpha_0\)) là khi \(x\) đang nằm ngoài khoảng \((-x_0, x_0)\) (đi từ \(A\) về \(x_0\), hoặc từ \(-A\) về \(-x_0\)).
Vậy quãng thời gian mà \(|v| > v_0\) (tức là \(|x| < x_0\)) tương ứng với các cung góc còn lại trên vòng tròn. Tổng góc mà vật quét trong một chu kỳ là \(2\pi\) rad.

Thời gian để vật đi từ \(x_0\) ra biên \(A\) là \(\Delta t_{x_0 \to A}\).
Thời gian để vật đi từ \(A\) về \(x_0\) là \(\Delta t_{A \to x_0}\).

Tổng thời gian mà tốc độ \(|v| > v_0\) trong một chu kỳ chính là \(T – 4 \times \Delta t_{x_0 \to A}\).

Góc mà vật quét từ \(x=x_0\) đến \(x=A\) là \(\alpha_0\), với \(\cos \alpha_0 = \frac{x_0}{A}\).

Vậy thời gian đi từ \(x_0\) đến \(A\) là \(\frac{\alpha_0}{\omega}\).

Quãng thời gian mà \(|v| > v_0\) trong mỗi chu kỳ là:
\(\Delta t = 2 \left( \frac{\pi}{\omega} – 2\frac{\alpha_0}{\omega} \right) = \frac{2(\pi – 2\alpha_0)}{\omega}\).

Trong đó, \(\alpha_0\) là góc mà tại đó tốc độ của vật bằng \(v_0\), tức là \(\sin \alpha_0 = \frac{v_0}{A\omega}\) (đặt \(\alpha_0\) trong khoảng \([0, \pi/2]\)).

Chúng ta có:
\(\Delta t = 1/6 \text{ s}\)
\(\omega = 4\pi \text{ rad/s}\)
\(\frac{1}{6} = \frac{2(\pi – 2\alpha_0)}{4\pi}\)
\(\frac{1}{6} = \frac{\pi – 2\alpha_0}{2\pi}\)

Nhân \(2\pi\) lên cả hai vế:
\(\frac{2\pi}{6} = \pi – 2\alpha_0\)
\(\frac{\pi}{3} = \pi – 2\alpha_0\)

Giải phương trình để tìm \(\alpha_0\):
\(2\alpha_0 = \pi – \frac{\pi}{3}\)
\(2\alpha_0 = \frac{2\pi}{3}\)
\(\alpha_0 = \frac{\pi}{3}\) rad.

Bước 4: Tính biên độ dao động \(A\).

Chúng ta có \(\sin \alpha_0 = \frac{v_0}{A\omega}\).

Với \(\alpha_0 = \frac{\pi}{3}\), ta có \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Thay các giá trị đã biết vào:
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{A \times 4\pi}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{A\pi}\)

Giải cho \(A\):
\(A\pi\sqrt{3} = 2\)
\(A = \frac{2}{\pi\sqrt{3}}\) cm.

Nếu làm tròn giá trị của \(\pi \approx 3.14\) và \(\sqrt{3} \approx 1.732\), thì:
\(A \approx \frac{2}{3.14 \times 1.732} \approx \frac{2}{5.43968} \approx 0.3677 \text{ cm}\).

Kết luận:

Vậy, biên độ dao động của chất điểm là \(A = \frac{2}{\pi\sqrt{3}} \text{ cm}\).

Các em lưu ý rằng trong dao động điều hoà, việc sử dụng vòng tròn lượng giác là một công cụ rất mạnh để giải quyết các bài toán liên quan đến thời gian và vị trí của vật. Hy vọng bài giải này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về dạng bài tập này!

Chúc các em học tốt!