Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1 cm thì diện tích củ…
Bài toán: Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1 cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ tăng thêm 13 cm2. Nếu giảm chiều dài đi 2 cm, chiều rộng đi 1 cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm 15 cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn và lập hệ phương trình.
Bước 1: Đặt ẩn và diễn đạt các đại lượng.
Gọi chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là \(x\) (cm) và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là \(y\) (cm).
Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\).
Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là: \(A = x \times y\) (cm2).
Bước 2: Lập phương trình dựa trên các thông tin của bài toán.
Trường hợp 1: Tăng độ dài mỗi cạnh lên 1 cm.
Chiều dài mới là: \(x + 1\) (cm).
Chiều rộng mới là: \(y + 1\) (cm).
Diện tích mới là: \(A_1 = (x + 1)(y + 1)\) (cm2).
Theo đề bài, diện tích tăng thêm 13 cm2, nên ta có:
\(A_1 = A + 13\)
\((x + 1)(y + 1) = xy + 13\)
Mở rộng biểu thức: \(xy + x + y + 1 = xy + 13\)
Rút gọn hai vế: \(x + y + 1 = 13\)
Chuyển 1 sang vế phải: \(x + y = 12\) (Phương trình 1)
Trường hợp 2: Giảm chiều dài đi 2 cm, chiều rộng đi 1 cm.
Chiều dài mới là: \(x – 2\) (cm).
Chiều rộng mới là: \(y – 1\) (cm).
Diện tích mới là: \(A_2 = (x – 2)(y – 1)\) (cm2).
Theo đề bài, diện tích giảm 15 cm2, nên ta có:
\(A_2 = A – 15\)
\((x – 2)(y – 1) = xy – 15\)
Mở rộng biểu thức: \(xy – x – 2y + 2 = xy – 15\)
Rút gọn hai vế: \(-x – 2y + 2 = -15\)
Chuyển 2 sang vế phải: \(-x – 2y = -17\)
Nhân cả hai vế với -1 để các hệ số dương: \(x + 2y = 17\) (Phương trình 2)
Bước 3: Giải hệ phương trình.
Chúng ta có hệ phương trình sau:
\(\begin{cases} x + y = 12 \\ x + 2y = 17 \end{cases}\)
Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.
Sử dụng phương pháp trừ (cộng đại số):
Lấy Phương trình 2 trừ đi Phương trình 1:
\((x + 2y) – (x + y) = 17 – 12\)
\(x + 2y – x – y = 5\)
\(y = 5\)
Tìm \(x\) bằng cách thế giá trị của \(y\) vào Phương trình 1:
\(x + 5 = 12\)
\(x = 12 – 5\)
\(x = 7\)
Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Ta tìm được \(x = 7\) và \(y = 5\). Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \(x > 0\) và \(y > 0\).
Vậy, chiều dài của hình chữ nhật là 7 cm và chiều rộng của hình chữ nhật là 5 cm.
Để chắc chắn, các em có thể thử lại với các thông tin của đề bài:
Diện tích ban đầu: \(7 \times 5 = 35\) cm2.
Tăng mỗi cạnh lên 1 cm: Chiều dài 8 cm, chiều rộng 6 cm. Diện tích mới: \(8 \times 6 = 48\) cm2. Tăng thêm: \(48 – 35 = 13\) cm2 (Đúng).
Giảm chiều dài 2 cm, chiều rộng 1 cm: Chiều dài 5 cm, chiều rộng 4 cm. Diện tích mới: \(5 \times 4 = 20\) cm2. Giảm đi: \(35 – 20 = 15\) cm2 (Đúng).
Các em thấy đó, khi chúng ta phân tích bài toán một cách có hệ thống, việc tìm ra lời giải trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.
Có em nào có câu hỏi không?
Gọi chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là \(x(cm) (2<x<12)\)
Vì tăng mỗi cạnh lên \(1cm\) thì diện tích tăng \(13cm^2\) nên tổng chiều dài và chiều rộng ban đầu là:
\(13-1=12\)\((cm)\)
Chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là \(12-x(cm)\)
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là \(x(12-x)(cm^2)\)
Nếu giảm chiều dài đi \(2cm\) thì chiều dài mới là \(x-2\)\((cm)\)
Nếu giảm chiều rộng đi \(1cm\) thì chiều rộng mới là:
\((12-x)-1=11-x\)\((cm)\)
\(->\) Diện tích mới của hình chữ nhật là \((x-2)(11-x)(cm^2)\)
Vì diện tích mới giảm \(15cm^2\) so với diện tích ban đầu nên ta có phương trình:
\(x(12-x)-(x-2)(11-x)=15\)
\(->12x-x^2-(11x-x^2-22+2x)=15\)
\(->12x-x^2-(13x-x^2-22)=15\)
\(->12x-x^2-13x+x^2+22=15\)
\(->-x+22=15\)
\(->-x=15-22\)
\(->-x=-7\)
\(->x=7\)(thỏa mãn)
Chiều rộng của hình chữ nhật là:
\(12-7=5\)\((cm)\)
Vậy chiều dài của hình chữ nhật là \(7cm\) và chiều rộng của hình chữ nhật là \(5cm\)
\(\color{#0B6623}{♡^♡}\color{#0F7A2F}{𝕲}\color{#138F3C}{𝖎}\color{#17A34A}{𝖆}\color{#2EBF5E}{𝖆} \ \color{#4DD17A}{ } \
\color{#6FE095}{𝕻}\color{#8BE8AA}{𝖍}\color{#A6F0BF}{𝖔}
\color{#C0F7D3}{𝖓}\color{#D8FBE4}{𝖌}\color{#ECFFF1}{𝖌}\color{#0B6623}{♡^♡}\)
Ans:
⇒ Gọi chiều dài là \(x\) (cm) với \(x > 2\).
Vì tổng chiều dài và chiều rộng tăng thêm sau khi tăng mỗi cạnh 1 cm là \(13 – 1 = 12\) cm:
\(\implies\) Chiều rộng là: \(12 – x\) (cm)
Diện tích ban đầu:
\(x(12 – x) \text{ (cm}^2\text{)}\)
-Khi giảm chiều dài 2 cm, chiều rộng 1 cm:
⇒ Chiều dài mới: \(x – 2\)
⇒ Chiều rộng mới:
\((12 – x) – 1 = 11 – x\)
Diện tích mới:
\((x – 2)(11 – x) \text{ (cm}^2\text{)}\)
-Theo đề bài, ta có phương trình:
\(x(12 – x) – (x – 2)(11 – x) = 15\)
\(12x – x^2 – (11x – x^2 – 22 + 2x) = 15\)
\(12x – x^2 – 13x + x^2 + 22 = 15\)
\(-x + 22 = 15\)
⇒ \(x = 7\)
Đáp số: ⇒ Chiều dài: \(7\) cm
⇒ Chiều rộng: \(12 – 7 = \mathbf{5 \text{ cm}}\)
\(\color{#0B6623}{꧁༺}\]\color{#0F7A2F}{𝔪}\[\color{#138F3C}{𝔲}\]\color{#17A34A}{𝔃}\[\color{#2EBF5E}{𝔃}\]\color{#4DD17A}{𝔞}\[\color{#6FE095}{𝖘}\]\color{#8BE8AA}{༻꧂}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment