Bài toán: Cho một vật chụp từ đỉnh của mặt phẳng nghiêng dài 2 m và nghiêng một góc alpha 30 độ so với mặt phẳng ngang. Xuống chân mặt phẳng nghiêng vật tiếp tục trượt trên phương ngang. Lấy g = 10 m/s². Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là 0,1 và hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,15. Tính thời gian chuyển động của vật cho tới khi dừng lại.

Để giải bài toán này, chúng ta cần chia nó thành hai giai đoạn:

Giai đoạn 1: Chuyển động trên mặt phẳng nghiêng.

Trước hết, chúng ta cần xác định vận tốc của vật tại chân mặt phẳng nghiêng.

Chúng ta sẽ sử dụng định lý động năng hoặc định luật II Newton để tìm gia tốc trên mặt phẳng nghiêng.

1. Phân tích lực tác dụng lên vật trên mặt phẳng nghiêng:

• Trọng lực: \(P = mg\) hướng thẳng đứng xuống dưới.
• Phản lực pháp tuyến: \(N_1\) vuông góc với mặt phẳng nghiêng, hướng lên.
• Lực ma sát động: \(F_{ms1}\) song song với mặt phẳng nghiêng, ngược chiều chuyển động.

Ta chiếu các lực lên các trục tọa độ:

• Trục Ox song song với mặt phẳng nghiêng, hướng xuống.
• Trục Oy vuông góc với mặt phẳng nghiêng, hướng lên.

Phân tích trọng lực thành hai thành phần:

• Thành phần song song với mặt phẳng nghiêng: \(P_x = mg \sin(\alpha)\)
• Thành phần vuông góc với mặt phẳng nghiêng: \(P_y = mg \cos(\alpha)\)

Áp dụng định luật II Newton theo phương Oy (vật không chuyển động theo phương vuông góc với mặt phẳng nghiêng):

\(N_1 – P_y = 0 \Rightarrow N_1 = P_y = mg \cos(\alpha)\)

Lực ma sát động trên mặt phẳng nghiêng là:

\(F_{ms1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 mg \cos(\alpha)\)

Áp dụng định luật II Newton theo phương Ox (xác định gia tốc \(a_1\) của vật trên mặt phẳng nghiêng):

\(P_x – F_{ms1} = ma_1\)

\(mg \sin(\alpha) – \mu_1 mg \cos(\alpha) = ma_1\)

Rút gọn m, ta có:

\(a_1 = g \sin(\alpha) – \mu_1 g \cos(\alpha)\)

Thay số vào:

\(\alpha = 30^\circ\), \(g = 10 \, \text{m/s}^2\), \(\mu_1 = 0.1\)

\(\sin(30^\circ) = 0.5\), \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)

\(a_1 = 10 \times 0.5 – 0.1 \times 10 \times 0.866 = 5 – 0.866 = 4.134 \, \text{m/s}^2\)

Bây giờ, chúng ta tìm vận tốc \(v_1\) của vật tại chân mặt phẳng nghiêng. Vật bắt đầu chuyển động với vận tốc ban đầu \(v_0 = 0\). Chúng ta có chiều dài mặt phẳng nghiêng \(s_1 = 2\) m.

Áp dụng công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quãng đường:

\(v_1^2 – v_0^2 = 2 a_1 s_1\)

\(v_1^2 – 0^2 = 2 \times 4.134 \times 2\)

\(v_1^2 = 16.536\)

\(v_1 = \sqrt{16.536} \approx 4.067 \, \text{m/s}\)

Chúng ta cũng có thể tính thời gian \(t_1\) vật đi hết mặt phẳng nghiêng, mặc dù bài toán không yêu cầu trực tiếp:

\(v_1 = v_0 + a_1 t_1 \Rightarrow t_1 = \frac{v_1 – v_0}{a_1} = \frac{4.067}{4.134} \approx 0.984 \, \text{s}\)

Giai đoạn 2: Chuyển động trên mặt phẳng ngang.

Khi xuống chân mặt phẳng nghiêng, vật tiếp tục trượt trên mặt phẳng ngang với vận tốc ban đầu \(v_{2,0} = v_1 \approx 4.067 \, \text{m/s}\). Trên mặt phẳng ngang, vật sẽ chuyển động chậm dần đều cho đến khi dừng lại.

1. Phân tích lực tác dụng lên vật trên mặt phẳng ngang:

• Trọng lực: \(P = mg\) hướng thẳng đứng xuống dưới.
• Phản lực pháp tuyến: \(N_2\) vuông góc với mặt phẳng ngang, hướng lên.
• Lực ma sát động: \(F_{ms2}\) song song với mặt phẳng ngang, ngược chiều chuyển động.

Áp dụng định luật II Newton theo phương thẳng đứng:

\(N_2 – P = 0 \Rightarrow N_2 = P = mg\)

Lực ma sát động trên mặt phẳng ngang là:

\(F_{ms2} = \mu_2 N_2 = \mu_2 mg\)

Áp dụng định luật II Newton theo phương ngang (xác định gia tốc \(a_2\) của vật trên mặt phẳng ngang):

\(-F_{ms2} = ma_2\)

\(-\mu_2 mg = ma_2\)

Rút gọn m, ta có:

\(a_2 = -\mu_2 g\)

Thay số vào:

\(\mu_2 = 0.15\), \(g = 10 \, \text{m/s}^2\)

\(a_2 = -0.15 \times 10 = -1.5 \, \text{m/s}^2\)

(Dấu âm cho thấy vật chuyển động chậm dần đều).

Vật dừng lại, nghĩa là vận tốc cuối cùng \(v_{2,f} = 0\).

Chúng ta cần tìm thời gian \(t_2\) vật chuyển động trên mặt phẳng ngang cho đến khi dừng lại.

Áp dụng công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và thời gian:

\(v_{2,f} = v_{2,0} + a_2 t_2\)

\(0 = 4.067 + (-1.5) t_2\)

\(1.5 t_2 = 4.067\)

\(t_2 = \frac{4.067}{1.5} \approx 2.711 \, \text{s}\)

Tổng thời gian chuyển động:

Thời gian chuyển động của vật cho tới khi dừng lại là tổng thời gian chuyển động trên mặt phẳng nghiêng và trên mặt phẳng ngang.

\(t_{tổng} = t_1 + t_2\)

\(t_{tổng} = 0.984 \, \text{s} + 2.711 \, \text{s} \approx 3.695 \, \text{s}\)

Kết luận:

Thời gian chuyển động của vật cho tới khi dừng lại là khoảng 3.70 giây.

Các em có câu hỏi nào không?