cho N= 0,7 . (2007^2009-2013^1999). Cmr N là một số nguyên
Để làm được điều này, chúng ta cần phân tích biểu thức và sử dụng các tính chất về chia hết và chữ số tận cùng của các lũy thừa.
Bước 1: Phân tích biểu thức N
Chúng ta có \( N = 0.7 \cdot (2007^{2009} – 2013^{1999}) \). Để N là một số nguyên, thì \( (2007^{2009} – 2013^{1999}) \) phải chia hết cho 10 (vì \( 0.7 = \frac{7}{10} \)). Điều này có nghĩa là hiệu \( 2007^{2009} – 2013^{1999} \) phải có chữ số tận cùng là 0.
Bước 2: Tìm chữ số tận cùng của \( 2007^{2009} \)
Để tìm chữ số tận cùng của \( 2007^{2009} \), chúng ta chỉ cần quan tâm đến chữ số tận cùng của cơ số, tức là 7. Chúng ta xét quy luật chữ số tận cùng của các lũy thừa của 7:
- \( 7^1 \) có chữ số tận cùng là 7
- \( 7^2 \) có chữ số tận cùng là 9
- \( 7^3 \) có chữ số tận cùng là 3
- \( 7^4 \) có chữ số tận cùng là 1
- \( 7^5 \) có chữ số tận cùng là 7 (lặp lại chu kỳ)
Chu kỳ này có độ dài là 4. Để tìm chữ số tận cùng của \( 2007^{2009} \), chúng ta cần xét số mũ 2009 chia cho 4.
Ta có: \( 2009 \div 4 = 502 \) dư 1.
Do số dư là 1, chữ số tận cùng của \( 2007^{2009} \) giống với chữ số tận cùng của \( 7^1 \), tức là 7.
Bước 3: Tìm chữ số tận cùng của \( 2013^{1999} \)
Tương tự, để tìm chữ số tận cùng của \( 2013^{1999} \), chúng ta chỉ cần quan tâm đến chữ số tận cùng của cơ số, tức là 3. Chúng ta xét quy luật chữ số tận cùng của các lũy thừa của 3:
- \( 3^1 \) có chữ số tận cùng là 3
- \( 3^2 \) có chữ số tận cùng là 9
- \( 3^3 \) có chữ số tận cùng là 7
- \( 3^4 \) có chữ số tận cùng là 1
- \( 3^5 \) có chữ số tận cùng là 3 (lặp lại chu kỳ)
Chu kỳ này cũng có độ dài là 4. Để tìm chữ số tận cùng của \( 2013^{1999} \), chúng ta cần xét số mũ 1999 chia cho 4.
Ta có: \( 1999 \div 4 = 499 \) dư 3.
Do số dư là 3, chữ số tận cùng của \( 2013^{1999} \) giống với chữ số tận cùng của \( 3^3 \), tức là 7.
Bước 4: Tìm chữ số tận cùng của hiệu \( 2007^{2009} – 2013^{1999} \)
Chữ số tận cùng của \( 2007^{2009} \) là 7.
Chữ số tận cùng của \( 2013^{1999} \) là 7.
Vậy, chữ số tận cùng của hiệu \( 2007^{2009} – 2013^{1999} \) là chữ số tận cùng của \( 7 – 7 = 0 \).
Điều này có nghĩa là \( 2007^{2009} – 2013^{1999} \) là một số có chữ số tận cùng là 0, tức là nó chia hết cho 10.
Bước 5: Kết luận
Chúng ta có \( N = 0.7 \cdot (2007^{2009} – 2013^{1999}) \).
Vì \( 2007^{2009} – 2013^{1999} \) chia hết cho 10, ta có thể viết \( 2007^{2009} – 2013^{1999} = 10k \) với \( k \) là một số nguyên.
Khi đó, \( N = 0.7 \cdot (10k) = \frac{7}{10} \cdot 10k = 7k \).
Vì \( k \) là một số nguyên, nên \( 7k \) cũng là một số nguyên.
Do đó, N là một số nguyên.
Các em thấy không, chỉ cần nắm vững quy luật về chữ số tận cùng của các lũy thừa, chúng ta đã có thể chứng minh được bài toán này một cách dễ dàng!
Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\(N = 0,7 . (2007^2009 – 2013^1999)\)
\(= 7/10 . (2007^2009 – 2013^1999)\)
Để chứng minh \(N\) là số nguyên thì \(N \vdots 10\)
Ta có: \(2007 ≡ 7 (mod 10)\)
\(=> 2007^2009 ≡ 7^2009 (mod 10)\)
Lại có: \(7^2009 = 7^(502 . 4 + 1) = (7^4)^502 . 7\)
Mà \(7^4 ≡ 1 (mod 10)\)
\(=> (7^4)^502 ≡ 1^502 (mod 10)\)
\(=> (7^4)^502 . 7 ≡ 7 (mod 10)\)
\(=> 2007^2009 ≡ 7 (mod 10)\)
Tiếp tục ta có: \(2013 ≡ 3 (mod 10)\)
\(=> 2013^1999 ≡ 3^1999 (mod 10)\)
Ta có: \(3^4 ≡ 1 (mod 10)\)
\(=> (3^4)^499 ≡ 1^499 (mod 10)\)
\(=> (3^4)^499 . 3^3 ≡ 3^3 (mod 10)\)
\(=> 3^1999 ≡ 27 (mod 10)\)
\(=> 3^1999 ≡ 7 (mod 10)\)
\(=> 2013^1999 ≡ 7 (mod 10)\)
Khi đó: \(2007^20009 – 2013^1999 ≡ 7 – 7 (mod 10)\)
Hay \((2007^20009 – 2013^1999) \vdots 10\)
Do đó: \(7/10 . (2007^2009 – 2013^1999)\) là số nguyên
Có \(2007^4\) tận cùng \(1\)
\(=> (2007^4)^252 . 2007\) tận cùng \(7\)
Hay \(2007^2009\) tận cùng \(7\)
Lại có \(2013^4\) tận cùng \(1\)
\(=> (2013^4)^499 . 2013^3\) tận cùng \(3^3\)
Hay \(2013^1999\) tận cùng \(7\)
\(=> 2007^2009 – 2013^1999\) tận cùng \(0\)
\(=> 2007^2009 – 2013^1999 vdots 10\)
\(=> (2007^2009 – 2013^1999).0,7 vdots 0,7.10\)
\(=>(2007^2009 – 2013^1999).0,7 vdots 7\)
\(=>(2007^2009 – 2013^1999).0,7 in ZZ\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment