cho (o) tiếp xúc trong với (o’) tại a. qua a kẻ một cát tuyến bất kỳ…

Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải quyết một bài toán hình học rất thú vị liên quan đến vị trí tương đối của hai đường tròn. Đây là dạng bài tập thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi từng bước lập luận nhé.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng tính chất của đường tròn tiếp xúc, quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp, cũng như dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Bước 1: Vẽ hình và chuẩn bị tư duy chứng minh

Trước tiên, các em cần vẽ đường tròn (O) tiếp xúc trong với đường tròn (O’) tại điểm A. Điều này có nghĩa là tâm O, tâm O’ và tiếp điểm A cùng nằm trên một đường thẳng, hay nói cách khác là ba điểm O, O’, A thẳng hàng. Tiếp theo, ta vẽ một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại điểm B và cắt đường tròn (O’) tại điểm C (với B và C khác A).

Mục tiêu của chúng ta là chứng minh đoạn thẳng OB song song với đoạn thẳng O’C.

Bước 2: Sử dụng tính chất tiếp xúc của hai đường tròn

• Vì hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại A, nên đường thẳng nối tâm OO’ chính là đường vuông góc chung tại tiếp điểm. Do đó, ba điểm O, O’, A thẳng hàng.
• Điều này giúp chúng ta xác định được vị trí tương đối của các góc tạo bởi bán kính của hai đường tròn.

Bước 3: Xét các tam giác cân trong hình vẽ

Để chứng minh hai đường thẳng OB và O’C song song với nhau, phương pháp kinh điển là chúng ta đi chứng minh hai góc ở vị trí đồng vị hoặc so le trong bằng nhau. Cụ thể ở đây, ta sẽ chứng minh góc OBA bằng góc O’CA.

• Xét đường tròn (O), ta có OA và OB đều là bán kính của đường tròn này. Do đó, tam giác OAB là tam giác cân tại O (vì OA = OB).
• Vì tam giác OAB cân tại O nên góc OAB bằng góc OBA (hai góc ở đáy).
• Tương tự, xét đường tròn (O’), ta có O’A và O’C đều là bán kính. Do đó, tam giác O’AC là tam giác cân tại O’ (vì O’A = O’C).
• Vì tam giác O’AC cân tại O’ nên góc O’AC bằng góc O’CA (hai góc ở đáy).

Bước 4: Liên hệ các góc và kết luận bài toán

• Quan sát hình vẽ, ta thấy góc OAB và góc O’AC thực chất là một góc duy nhất, bởi vì ba điểm O, O’, A thẳng hàng nên tia AB và tia AC trùng nhau (cùng nằm trên một cát tuyến đi qua A). Do đó, góc OAB bằng góc O’AC.
• Từ các chứng minh trên, ta suy ra góc OBA bằng góc O’CA (vì cùng bằng góc OAB hay góc O’AC).
• Mặt khác, hai góc OBA và O’CA này lại ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng OB và O’C bị cắt bởi đường cát tuyến ABC.
• Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, khi hai góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau.
• Vậy OB song song với O’C. Điều phải chứng minh đã hoàn thành!

Lời khuyên từ giáo viên: Để làm tốt các bài toán hình học lớp 9 dạng này, các em nhớ phải vẽ hình thật chính xác, nắm vững tính chất tam giác cân do có các cạnh là bán kính đường tròn, và luôn nhạy bén với các góc đối đỉnh hoặc góc đồng vị. Chúc các em học tập thật tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!