Bài toán: Cho phương trình đường thẳng (d): \(x(3-m)-2y=23\).
Khi \(m = 3\) thì đường thẳng (d) có cắt trục Ox không?

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định xem đường thẳng (d) có giao điểm với trục Ox hay không khi \(m = 3\). Trục Ox chính là trục hoành, và trên trục Ox, tung độ (giá trị của y) luôn bằng 0.

Bước 1: Thay giá trị của m vào phương trình đường thẳng.

Đề bài cho biết khi \(m = 3\), chúng ta thay giá trị này vào phương trình đường thẳng (d):

\(x(3-3) – 2y = 23\)

\(x(0) – 2y = 23\)

\(0 – 2y = 23\)

\(-2y = 23\)

Bước 2: Tìm giao điểm với trục Ox.

Để đường thẳng cắt trục Ox, chúng ta cần tìm một điểm trên đường thẳng có tung độ \(y = 0\). Tuy nhiên, sau khi thay \(m = 3\), phương trình của chúng ta chỉ còn chứa biến \(y\). Điều này có nghĩa là đối với mọi giá trị của \(x\), \(y\) đều có một giá trị cố định.

Từ phương trình \(-2y = 23\), ta tìm được \(y\):

\(y = \frac{23}{-2}\)

\(y = -\frac{23}{2}\)

Bước 3: Phân tích kết quả.

Chúng ta nhận thấy rằng, sau khi thay \(m = 3\), phương trình đường thẳng trở thành \(-2y = 23\). Điều này có nghĩa là mọi điểm trên đường thẳng này đều có tung độ \(y = -\frac{23}{2}\), không phụ thuộc vào \(x\). Nói cách khác, đây là một đường thẳng nằm ngang và cách trục Ox một khoảng bằng \(|-\frac{23}{2}| = \frac{23}{2}\).

Trục Ox có phương trình là \(y = 0\). Để đường thẳng cắt trục Ox, phải tồn tại một điểm có cả \(y = 0\) và thỏa mãn phương trình đường thẳng.

Trong trường hợp này, phương trình đường thẳng cho ta \(y = -\frac{23}{2}\). Giá trị này khác 0. Do đó, không có điểm nào trên đường thẳng này có tung độ bằng 0.

Kết luận:

Khi \(m = 3\), phương trình đường thẳng (d) là \(y = -\frac{23}{2}\). Đường thẳng này là một đường thẳng nằm ngang và song song với trục Ox, nó không bao giờ cắt trục Ox.

Cách xác định xem đường thẳng có cắt trục Ox hay không:

Một đường thẳng có phương trình tổng quát là \(Ax + By + C = 0\) (với A và B không đồng thời bằng 0) sẽ cắt trục Ox nếu nó không song song với trục Ox. Trục Ox có phương trình là \(y = 0\).
Để đường thẳng cắt trục Ox, chúng ta sẽ cho \(y = 0\) vào phương trình đường thẳng và xem liệu có tìm được giá trị của \(x\) hay không.
Nếu phương trình sau khi cho \(y = 0\) vẫn còn biến \(x\) và có nghiệm \(x\), thì đường thẳng cắt trục Ox tại điểm có hoành độ đó.
Nếu phương trình sau khi cho \(y = 0\) trở thành một đẳng thức sai (ví dụ: \(0 = 5\)) hoặc chỉ còn lại một hằng số khác 0, thì đường thẳng không cắt trục Ox (thường là song song hoặc trùng với trục Ox nếu có điều kiện đặc biệt).
Trong trường hợp phương trình ban đầu chỉ có dạng \(By + C = 0\), điều này có nghĩa là \(A=0\). Nếu \(B \neq 0\), đường thẳng sẽ là đường ngang \(y = -\frac{C}{B}\). Nếu \(-\frac{C}{B} \neq 0\), đường thẳng này sẽ song song với trục Ox và không cắt.

Trong bài toán này, khi \(m=3\), hệ số của \(x\) là \(3-m = 3-3 = 0\), nên phương trình đường thẳng không còn biến \(x\). Đây là dấu hiệu cho thấy đường thẳng này sẽ song song với trục Ox.