Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về phương trình bậc hai có chứa tham số m. Đây là một dạng bài rất hay gặp trong các đề thi, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi thật kỹ nhé!

Đề bài: Cho phương trình: \(x^2-2(m+1)x+m^2-3m=0\)

Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt và tổng bình phương hai nghiệm bằng \(10\).

Lời giải chi tiết:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Áp dụng hệ thức Viète để biểu diễn tổng bình phương hai nghiệm theo \(m\).
3. Giải phương trình tìm \(m\) từ điều kiện tổng bình phương hai nghiệm.
4. Kiểm tra lại các giá trị của \(m\) tìm được với điều kiện ban đầu.

Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình đã cho là dạng phương trình bậc hai: \(ax^2 + bx + c = 0\)

Trong đó:

• \(a = 1\)
• \(b = -2(m+1)\)
• \(c = m^2-3m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, biệt thức delta (\(\Delta\)) phải lớn hơn \(0\). Vì hệ số \(b\) có dạng \(2b’\), chúng ta có thể dùng \(\Delta’\) cho đơn giản:

\(\Delta’ = (b’)^2 – ac\)

Ở đây, \(b’ = -(m+1)\).

Ta có:

\(\Delta’ = (-(m+1))^2 – (1)(m^2-3m)\)

\(\Delta’ = (m+1)^2 – (m^2-3m)\)

\(\Delta’ = (m^2 + 2m + 1) – (m^2 – 3m)\)

\(\Delta’ = m^2 + 2m + 1 – m^2 + 3m\)

\(\Delta’ = 5m + 1\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần:

\(\Delta’ > 0\)

\(5m + 1 > 0\)

\(5m > -1\)

\(m > -\frac{1}{5}\) (Điều kiện 1)

Hãy nhớ điều kiện này để kiểm tra các giá trị của \(m\) sau này nhé!

Bước 2: Áp dụng hệ thức Viète.

Theo hệ thức Viète, nếu phương trình có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\), thì:

• Tổng hai nghiệm: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
• Tích hai nghiệm: \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\)

Thay các hệ số \(a, b, c\) vào, ta được:

\(x_1 + x_2 = -\frac{-2(m+1)}{1} = 2(m+1)\)

\(x_1 x_2 = \frac{m^2-3m}{1} = m^2-3m\)

Theo đề bài, tổng bình phương hai nghiệm bằng \(10\), tức là:

\(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

Chúng ta biết rằng \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2\). Vậy, ta thay các biểu thức Viète vào:

\((2(m+1))^2 – 2(m^2-3m) = 10\)

Bước 3: Giải phương trình tìm \(m\).

Tiếp tục biến đổi phương trình trên:

\(4(m+1)^2 – 2(m^2-3m) = 10\)

\(4(m^2 + 2m + 1) – 2m^2 + 6m = 10\)

\(4m^2 + 8m + 4 – 2m^2 + 6m = 10\)

Rút gọn phương trình:

\(2m^2 + 14m + 4 = 10\)

\(2m^2 + 14m + 4 – 10 = 0\)

\(2m^2 + 14m – 6 = 0\)

Chia cả hai vế cho \(2\) để đơn giản hóa:

\(m^2 + 7m – 3 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai theo biến \(m\). Chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \(m\).

Tính biệt thức \(\Delta_m\) cho phương trình này:

\(\Delta_m = B^2 – 4AC = (7)^2 – 4(1)(-3)\)

\(\Delta_m = 49 + 12\)

\(\Delta_m = 61\)

Vì \(\Delta_m > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt theo \(m\):

\(m = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta_m}}{2A}\)

\(m = \frac{-7 \pm \sqrt{61}}{2}\)

Vậy, ta có hai giá trị của \(m\):

\(m_1 = \frac{-7 + \sqrt{61}}{2}\)

\(m_2 = \frac{-7 – \sqrt{61}}{2}\)

Bước 4: Kiểm tra lại các giá trị của \(m\) với điều kiện ban đầu.

Nhớ lại Điều kiện 1 mà chúng ta đã tìm ở Bước 1: \(m > -\frac{1}{5}\).

Chúng ta cần kiểm tra xem giá trị \(m_1\) và \(m_2\) có thỏa mãn điều kiện này không.

Biết rằng \(\sqrt{49} = 7\) và \(\sqrt{64} = 8\), vậy \(\sqrt{61}\) xấp xỉ \(7.8\).

• Với \(m_1 = \frac{-7 + \sqrt{61}}{2}\):

  \(m_1 \approx \frac{-7 + 7.8}{2} = \frac{0.8}{2} = 0.4\)

  Ta thấy \(0.4 > -\frac{1}{5} = -0.2\). Vậy \(m_1 = \frac{-7 + \sqrt{61}}{2}\) là giá trị \(m\) thỏa mãn.

• Với \(m_2 = \frac{-7 – \sqrt{61}}{2}\):

  \(m_2 \approx \frac{-7 – 7.8}{2} = \frac{-14.8}{2} = -7.4\)

  Ta thấy \(-7.4 < -\frac{1}{5} = -0.2\). Vậy \(m_2 = \frac{-7 - \sqrt{61}}{2}\) là giá trị \(m\) không thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt và tổng bình phương hai nghiệm bằng \(10\) là:

\(m = \frac{-7 + \sqrt{61}}{2}\)

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm nhiều dạng tương tự để nắm vững kiến thức nhé!