Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất thú vị liên quan đến phương trình bậc hai mà không cần phải đi tìm trực tiếp nghiệm của phương trình. Đây là một ứng dụng tuyệt vời của định lí Viète mà chúng ta đã học.

Đề bài: Cho phương trình: \(x^2-5x+6=0\)

Không cần giải phương trình, hãy tính giá trị:

\(A=(x_1-x_2)^2+2x_1x_2\)

với \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình.

—

Lời giải chi tiết:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng Định lí Viète. Định lí này cho phép chúng ta tìm tổng và tích của các nghiệm mà không cần phải giải phương trình.

Bước 1: Xác định các hệ số của phương trình và kiểm tra điều kiện có nghiệm.

Phương trình đã cho là: \(x^2-5x+6=0\)

So sánh với dạng tổng quát \(ax^2+bx+c=0\), ta có:

• \(a = 1\)
• \(b = -5\)
• \(c = 6\)

Trước khi áp dụng Định lí Viète, chúng ta cần kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay không bằng cách tính biệt thức \(\Delta\).

Công thức tính biệt thức là: \(\Delta = b^2 – 4ac\)

Thay các giá trị \(a, b, c\) vào, ta được:

\(\Delta = (-5)^2 – 4(1)(6)\)

\(\Delta = 25 – 24\)

\(\Delta = 1\)

Vì \(\Delta = 1 > 0\), nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\). Điều này khẳng định chúng ta có thể áp dụng Định lí Viète.

Bước 2: Áp dụng Định lí Viète để tìm tổng và tích các nghiệm.

Theo Định lí Viète, ta có:

• Tổng hai nghiệm: \(x_1+x_2 = -\frac{b}{a}\)
• Tích hai nghiệm: \(x_1x_2 = \frac{c}{a}\)

Thay các giá trị \(a, b, c\) vào, ta được:

Tổng: \(x_1+x_2 = -\frac{(-5)}{1} = 5\)

Tích: \(x_1x_2 = \frac{6}{1} = 6\)

Bước 3: Biến đổi biểu thức cần tính \(A\) về dạng chứa tổng và tích các nghiệm.

Biểu thức cần tính là: \(A=(x_1-x_2)^2+2x_1x_2\)

Chúng ta biết rằng \((x_1-x_2)^2\) có thể được biến đổi thành \((x_1+x_2)^2 – 4x_1x_2\). Đây là một hằng đẳng thức rất hữu ích trong các bài toán liên quan đến Viète.

Vậy, ta thay thế vào biểu thức \(A\):

\(A = ((x_1+x_2)^2 – 4x_1x_2) + 2x_1x_2\)

Tiếp tục rút gọn biểu thức:

\(A = (x_1+x_2)^2 – 4x_1x_2 + 2x_1x_2\)

\(A = (x_1+x_2)^2 – 2x_1x_2\)

Bước 4: Thay các giá trị tổng và tích đã tìm được vào biểu thức \(A\).

Từ Bước 2, chúng ta có \(x_1+x_2 = 5\) và \(x_1x_2 = 6\).

Thay các giá trị này vào biểu thức \(A = (x_1+x_2)^2 – 2x_1x_2\), ta được:

\(A = (5)^2 – 2(6)\)

\(A = 25 – 12\)

\(A = 13\)

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức \(A\) là 13.

—

Các em thấy không? Với việc nắm vững Định lí Viète và các phép biến đổi đại số cơ bản, chúng ta có thể giải quyết được bài toán mà không cần phải mất thời gian đi tìm nghiệm \(x_1, x_2\) cụ thể. Đây là một kỹ năng rất quan trọng trong toán học lớp 9. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự nhé!