Xin chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về mạch điện tổng hợp lớp 11. Đây là dạng bài khá phổ biến, đòi hỏi các em nắm vững kiến thức về định luật Ôm cho toàn mạch, đoạn mạch, các quy tắc mắc nối tiếp, song song và công suất điện.

Phân tích đề bài:

Chúng ta có một mạch điện gồm:

• Điện trở \(R_1 = 18 \, \Omega\) mắc nối tiếp.
• Một đoạn mạch song song gồm biến trở \(R_2\) và đèn.
• Đèn có thông số định mức: \(U_{đm} = 24V\), \(P_{đm} = 16W\).
• Nguồn điện có suất điện động \(E = 32V\), điện trở trong \(r = 2 \, \Omega\).

Bước 1: Tính toán các giá trị cơ bản của đèn.

Khi đèn sáng bình thường, các thông số của đèn đúng bằng giá trị định mức:

• Cường độ dòng điện định mức qua đèn: \(I_{đm} = \frac{P_{đm}}{U_{đm}} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \, A\).
• Điện trở của đèn: \(R_Đ = \frac{U_{đm}}{I_{đm}} = \frac{24}{2/3} = 36 \, \Omega\) (hoặc \(R_Đ = \frac{U_{đm}^2}{P_{đm}} = \frac{24^2}{16} = \frac{576}{16} = 36 \, \Omega\)).

Vậy, điện trở của đèn là \(R_Đ = 36 \, \Omega\).

Sơ đồ mạch điện: \(R_1\) nối tiếp với \((R_2 // R_Đ)\).

—

a) Cho \(R_2 = 18 \, \Omega\). Tìm cường độ dòng điện qua nguồn điện và cường độ dòng điện qua các điện trở.

Bước 1: Tính điện trở tương đương của đoạn mạch song song \((R_2 // R_Đ)\).

Với \(R_2 = 18 \, \Omega\) và \(R_Đ = 36 \, \Omega\), điện trở tương đương là:

\(R_{2Đ} = \frac{R_2 \cdot R_Đ}{R_2 + R_Đ} = \frac{18 \cdot 36}{18 + 36} = \frac{18 \cdot 36}{54} = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12 \, \Omega\).

Bước 2: Tính điện trở mạch ngoài \(R_{ngoài}\).

Mạch ngoài gồm \(R_1\) nối tiếp với \(R_{2Đ}\):

\(R_{ngoài} = R_1 + R_{2Đ} = 18 + 12 = 30 \, \Omega\).

Bước 3: Tính cường độ dòng điện qua nguồn điện (cũng là cường độ dòng điện mạch chính \(I\)).

Áp dụng Định luật Ôm cho toàn mạch:

\(I = I_{nguồn} = \frac{E}{R_{ngoài} + r} = \frac{32}{30 + 2} = \frac{32}{32} = 1 \, A\).

Vì \(R_1\) mắc nối tiếp với đoạn mạch song song \((R_2 // R_Đ)\), cường độ dòng điện qua \(R_1\) chính là cường độ dòng điện mạch chính:

\(I_1 = I = 1 \, A\).

Bước 4: Tính hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch song song \((U_{2Đ})\).

\(U_{2Đ} = I \cdot R_{2Đ} = 1 \cdot 12 = 12 \, V\).

Vì \(R_2\) và \(R_Đ\) mắc song song, nên hiệu điện thế giữa hai đầu chúng là như nhau:

\(U_2 = U_Đ = U_{2Đ} = 12 \, V\).

Bước 5: Tính cường độ dòng điện qua \(R_2\) và qua đèn.

• Cường độ dòng điện qua \(R_2\): \(I_2 = \frac{U_2}{R_2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \, A\).
• Cường độ dòng điện qua đèn: \(I_Đ = \frac{U_Đ}{R_Đ} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \, A\).

Kiểm tra lại: \(I_2 + I_Đ = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, A\). Giá trị này khớp với \(I\), vậy kết quả là đúng.

Kết luận câu a:

• Cường độ dòng điện qua nguồn: \(I_{nguồn} = 1 \, A\).
• Cường độ dòng điện qua \(R_1\): \(I_1 = 1 \, A\).
• Cường độ dòng điện qua \(R_2\): \(I_2 = \frac{2}{3} \, A\).
• Cường độ dòng điện qua đèn: \(I_Đ = \frac{1}{3} \, A\).

—

b) Để đèn sáng bình thường. \(R_2\) phải có giá trị bằng bao nhiêu?

Để đèn sáng bình thường, hiệu điện thế và cường độ dòng điện qua đèn phải đúng bằng giá trị định mức:

\(U_Đ = U_{đm} = 24 \, V\).

\(I_Đ = I_{đm} = \frac{2}{3} \, A\).

Bước 1: Xác định hiệu điện thế và cường độ dòng điện của đoạn mạch song song.

Vì \(R_2\) song song với đèn, nên hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch song song chính là hiệu điện thế định mức của đèn:

\(U_{2Đ} = U_Đ = 24 \, V\).

Bước 2: Tính cường độ dòng điện mạch chính \(I\).

Hiệu điện thế mạch ngoài là \(U_{ngoài} = E – I \cdot r\).

Mặt khác, \(U_{ngoài} = U_1 + U_{2Đ}\) và \(U_1 = I \cdot R_1\).

Vậy: \(E – I \cdot r = I \cdot R_1 + U_{2Đ}\)

\(E – U_{2Đ} = I \cdot (R_1 + r)\)

\(32 – 24 = I \cdot (18 + 2)\)

\(8 = I \cdot 20\)

\(I = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0.4 \, A\).

Đây là cường độ dòng điện mạch chính, cũng là cường độ dòng điện chạy qua \(R_1\) và cường độ dòng điện tổng cấp cho nhánh song song.

Bước 3: Kiểm tra tính khả thi.

Chúng ta có cường độ dòng điện mạch chính là \(I = 0.4 \, A\). Dòng điện này sẽ chia thành \(I_2\) (qua biến trở \(R_2\)) và \(I_Đ\) (qua đèn).

Theo điều kiện đèn sáng bình thường, cường độ dòng điện qua đèn phải là \(I_Đ = \frac{2}{3} \, A \approx 0.67 \, A\).

Tuy nhiên, cường độ dòng điện tổng cấp cho nhánh song song chỉ là \(I = 0.4 \, A\).

Rõ ràng, \(I < I_Đ\) (\(0.4 \, A < 0.67 \, A\)). Điều này có nghĩa là dòng điện tổng mà nguồn cung cấp cho nhánh song song còn nhỏ hơn dòng điện mà riêng đèn yêu cầu để sáng bình thường.

Do đó, không thể có giá trị \(R_2\) nào để đèn sáng bình thường trong mạch này. Nếu dòng điện tổng vào nhánh song song nhỏ hơn dòng định mức của đèn, thì đèn không thể sáng bình thường (thậm chí là sáng mờ hơn hoặc không sáng).

Kết luận câu b:

Không có giá trị \(R_2\) nào để đèn sáng bình thường trong mạch này, vì cường độ dòng điện tối đa mà nguồn có thể cung cấp cho đoạn mạch song song (\(0.4 \, A\)) nhỏ hơn cường độ dòng điện định mức của đèn (\(\frac{2}{3} \, A \approx 0.67 \, A\)).

—

c) Tìm \(R_2\) để công suất trên \(R_2\) cực đại.

Công suất trên \(R_2\) được tính bằng công thức \(P_{R2} = I_2^2 \cdot R_2\) hoặc \(P_{R2} = \frac{U_{2Đ}^2}{R_2}\). Chúng ta sẽ biểu diễn \(P_{R2}\) theo \(R_2\).

Bước 1: Biểu diễn điện trở tương đương của đoạn mạch song song theo \(R_2\).

\(R_{2Đ} = \frac{R_2 \cdot R_Đ}{R_2 + R_Đ} = \frac{36R_2}{R_2 + 36}\).

Bước 2: Biểu diễn điện trở mạch ngoài theo \(R_2\).

\(R_{ngoài} = R_1 + R_{2Đ} = 18 + \frac{36R_2}{R_2 + 36}\).

Bước 3: Biểu diễn cường độ dòng điện mạch chính \(I\) theo \(R_2\).

\(I = \frac{E}{R_{ngoài} + r} = \frac{32}{18 + \frac{36R_2}{R_2 + 36} + 2} = \frac{32}{20 + \frac{36R_2}{R_2 + 36}}\).

Đơn giản hóa mẫu số:

\(20 + \frac{36R_2}{R_2 + 36} = \frac{20(R_2 + 36) + 36R_2}{R_2 + 36} = \frac{20R_2 + 720 + 36R_2}{R_2 + 36} = \frac{56R_2 + 720}{R_2 + 36}\).

Vậy, \(I = \frac{32}{\frac{56R_2 + 720}{R_2 + 36}} = \frac{32(R_2 + 36)}{56R_2 + 720}\).

Bước 4: Biểu diễn hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch song song \(U_{2Đ}\) theo \(R_2\).

\(U_{2Đ} = I \cdot R_{2Đ} = \frac{32(R_2 + 36)}{56R_2 + 720} \cdot \frac{36R_2}{R_2 + 36} = \frac{32 \cdot 36R_2}{56R_2 + 720} = \frac{1152R_2}{56R_2 + 720}\).

Có thể chia cả tử và mẫu cho 8:

\(U_{2Đ} = \frac{144R_2}{7R_2 + 90}\).

Bước 5: Biểu diễn công suất trên \(R_2\), \(P_{R2}\) theo \(R_2\).

\(P_{R2} = \frac{U_{2Đ}^2}{R_2} = \frac{\left(\frac{144R_2}{7R_2 + 90}\right)^2}{R_2} = \frac{144^2 \cdot R_2^2}{(7R_2 + 90)^2 \cdot R_2} = \frac{20736 R_2}{(7R_2 + 90)^2}\).

Bước 6: Tìm \(R_2\) để \(P_{R2}\) cực đại.

Để tìm giá trị \(R_2\) làm cho \(P_{R2}\) cực đại, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm (kiến thức toán học) hoặc áp dụng một nguyên tắc chung về công suất cực đại.

Cách 1: Sử dụng đạo hàm.
Đặt hàm số \(f(R_2) = \frac{R_2}{(7R_2 + 90)^2}\). Chúng ta cần tìm \(R_2\) để \(f(R_2)\) đạt cực đại.
Lấy đạo hàm \(f'(R_2)\) và cho bằng 0:

\(f'(R_2) = \frac{1 \cdot (7R_2 + 90)^2 – R_2 \cdot 2(7R_2 + 90) \cdot 7}{(7R_2 + 90)^4} = 0\).

Để \(f'(R_2) = 0\), tử số phải bằng 0:

\((7R_2 + 90)^2 – 14R_2(7R_2 + 90) = 0\).

Chia cả hai vế cho \((7R_2 + 90)\) (vì \(R_2 > 0\), nên \(7R_2 + 90 \ne 0\)):

\(7R_2 + 90 – 14R_2 = 0\).

\(90 – 7R_2 = 0\).

\(7R_2 = 90\).

\(R_2 = \frac{90}{7} \, \Omega \approx 12.86 \, \Omega\).

Cách 2: Áp dụng điều kiện công suất cực đại cho điện trở biến thiên.
Công suất trên một điện trở \(R_x\) mắc trong một mạch mà nó nhận năng lượng từ một nguồn Thevenin với điện trở trong \(R_{Th}\) là cực đại khi \(R_x = R_{Th}\). Tuy nhiên, đây là trường hợp \(R_2\) là một phần của nhánh song song.
Với dạng biểu thức \(P = \frac{kX}{(aX + b)^2}\), \(P\) đạt cực đại khi \(aX = b\).
Ở đây, \(P_{R2} = \frac{20736 R_2}{(7R_2 + 90)^2}\).
So sánh với dạng trên, ta có \(X = R_2\), \(a = 7\), \(b = 90\).
Vậy \(P_{R2}\) cực đại khi \(7R_2 = 90\).

\(R_2 = \frac{90}{7} \, \Omega \approx 12.86 \, \Omega\).

Kết luận câu c:

Để công suất trên \(R_2\) đạt cực đại, giá trị của biến trở \(R_2\) phải là \(\frac{90}{7} \, \Omega\).

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán mạch điện. Chúc các em học tốt!