Bài toán: Cho số hữu tỉ y = \( \frac{2n+1}{n+5} \) với n thuộc Z. Tìm n để y có giá trị là một số nguyên.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi phân số để đưa về dạng dễ dàng kiểm tra hơn.

Phân tích bài toán:

Chúng ta có biểu thức y là một phân số với tử số là \( 2n+1 \) và mẫu số là \( n+5 \). Yêu cầu là tìm giá trị của n (là số nguyên) sao cho y nhận giá trị là một số nguyên.

Để một phân số có giá trị là một số nguyên, thì tử số phải chia hết cho mẫu số. Nghĩa là, \( 2n+1 \) phải chia hết cho \( n+5 \).

Cách giải:

Ta cần làm cho tử số có thể “gắn” với mẫu số \( n+5 \) để dễ dàng kiểm tra tính chia hết.

Chúng ta sẽ biến đổi tử số \( 2n+1 \) như sau:

Ta thấy ở tử số có \( 2n \) còn mẫu số là \( n \). Để xuất hiện \( n+5 \) trong tử số, ta có thể nhân biểu thức \( n+5 \) với 2:

2 * (n + 5) = 2n + 10

Bây giờ, ta sẽ cố gắng làm cho tử số \( 2n+1 \) giống với \( 2n+10 \) mà vẫn giữ nguyên giá trị của phân số.

Ta viết lại tử số \( 2n+1 \) như sau:

\( 2n+1 = (2n+10) – 9 \)

Bây giờ, thay biểu thức này vào phân số y:

\( y = \frac{(2n+10) – 9}{n+5} \)

Tiếp theo, ta tách phân số này thành hai phần:

\( y = \frac{2n+10}{n+5} – \frac{9}{n+5} \)

Ta nhận thấy rằng \( \frac{2n+10}{n+5} \) có thể rút gọn:

\( \frac{2n+10}{n+5} = \frac{2(n+5)}{n+5} = 2 \)

Vậy, biểu thức của y trở thành:

\( y = 2 – \frac{9}{n+5} \)

Để y là một số nguyên, thì \( 2 – \frac{9}{n+5} \) phải là một số nguyên. Vì 2 là số nguyên, nên để \( 2 – \frac{9}{n+5} \) là số nguyên thì \( \frac{9}{n+5} \) cũng phải là một số nguyên.

Điều này có nghĩa là \( n+5 \) phải là ước của 9.

Các ước của 9 là: \( \{-9, -3, -1, 1, 3, 9\} \).

Bây giờ, chúng ta sẽ xét từng trường hợp của \( n+5 \):

• Trường hợp 1: \( n+5 = -9 \) => \( n = -9 – 5 = -14 \)
• Trường hợp 2: \( n+5 = -3 \) => \( n = -3 – 5 = -8 \)
• Trường hợp 3: \( n+5 = -1 \) => \( n = -1 – 5 = -6 \)
• Trường hợp 4: \( n+5 = 1 \) => \( n = 1 – 5 = -4 \)
• Trường hợp 5: \( n+5 = 3 \) => \( n = 3 – 5 = -2 \)
• Trường hợp 6: \( n+5 = 9 \) => \( n = 9 – 5 = 4 \)

Vậy, các giá trị của n để y là một số nguyên là: \( \{-14, -8, -6, -4, -2, 4\} \).

Kiểm tra lại:

Chúng ta có thể thử lại với một vài giá trị của n để chắc chắn.

Ví dụ: Nếu n = -14, thì y = \( \frac{2(-14)+1}{-14+5} = \frac{-28+1}{-9} = \frac{-27}{-9} = 3 \). (Là số nguyên)

Ví dụ: Nếu n = 4, thì y = \( \frac{2(4)+1}{4+5} = \frac{8+1}{9} = \frac{9}{9} = 1 \). (Là số nguyên)

Kết luận:

Các giá trị nguyên của n để số hữu tỉ y = \( \frac{2n+1}{n+5} \) có giá trị là một số nguyên là \( n \in \{-14, -8, -6, -4, -2, 4\} \).

Các em có câu hỏi nào không?