Cho số hữu tỉ y =2n+1/n+5 với n thuộc Z . Tìm n để y có giá trị là…

Chào các em học sinh lớp 7 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một dạng toán rất hay và quen thuộc trong chương trình Số hữu tỉ: Tìm số nguyên n để biểu thức phân số nhận giá trị nguyên.

Đối với bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo phương pháp tách tử thức thành bội của mẫu thức kết hợp với một số dư. Chúng ta cùng bắt đầu các bước giải chi tiết nhé:

Bước 1: Biến đổi biểu thức để tách phần nguyên và phần phân số

Ta có biểu thức ban đầu. Mục tiêu của chúng ta là làm sao cho biến n ở trên tử biến mất hoặc rút gọn được với mẫu số. Ta thực hiện phép biến đổi tử số như sau:

• Tử số là: 2 nhân n cộng 1
• Mẫu số là: n cộng 5
• Ta biến đổi tử số xuất hiện biểu thức của mẫu số (n cộng 5): 2 nhân n cộng 1 bằng 2 nhân (n cộng 5) trừ đi 9
• Thật vậy, khi phá ngoặc ta có: 2 nhân n cộng 10 trừ 9, kết quả vẫn bằng 2 nhân n cộng 1 (hoàn toàn chính xác).

Bước 2: Rút gọn biểu thức

Thay tử số vừa biến đổi vào phân số ban đầu, ta chia thành hai phân số nhỏ:

• Phân số y bằng [2 nhân (n cộng 5) trừ 9] chia cho (n cộng 5)
• Tách thành: [2 nhân (n cộng 5) chia cho (n cộng 5)] trừ đi [9 chia cho (n cộng 5)]
• Rút gọn ta được kết quả cuối cùng là: y bằng 2 trừ đi [9 chia cho (n cộng 5)]

Bước 3: Lập luận để tìm điều kiện của n

Để y nhận giá trị là một số nguyên (với điều kiện n thuộc tập hợp số nguyên Z):

• Số 2 đã là một số nguyên rồi.
• Do đó, để y là số nguyên thì phân số 9 chia cho (n cộng 5) bắt buộc phải là một số nguyên.
• Điều này đồng nghĩa với việc (n cộng 5) phải là một ước số của 9.

Bước 4: Tìm các giá trị của n

Ta biết tập hợp các ước của 9 trong tập hợp số nguyên Z bao gồm các số: 1, âm 1, 3, âm 3, 9 và âm 9. Bây giờ, ta cho (n cộng 5) lần lượt bằng các giá trị này để tìm n:

• Trường hợp 1: n cộng 5 bằng 1 suy ra n bằng 1 trừ 5, kết quả là n bằng âm 4 (thỏa mãn n thuộc Z).
• Trường hợp 2: n cộng 5 bằng âm 1 suy ra n bằng âm 1 trừ 5, kết quả là n bằng âm 6 (thỏa mãn n thuộc Z).
• Trường hợp 3: n cộng 5 bằng 3 suy ra n bằng 3 trừ 5, kết quả là n bằng âm 2 (thỏa mãn n thuộc Z).
• Trường hợp 4: n cộng 5 bằng âm 3 suy ra n bằng âm 3 trừ 5, kết quả là n bằng âm 8 (thỏa mãn n thuộc Z).
• Trường hợp 5: n cộng 5 bằng 9 suy ra n bằng 9 trừ 5, kết quả là n bằng 4 (thỏa mãn n thuộc Z).
• Trường hợp 6: n cộng 5 bằng âm 9 suy ra n bằng âm 9 trừ 5, kết quả là n bằng âm 14 (thỏa mãn n thuộc Z).

Bước 5: Kết luận

Sau khi đối chiếu điều kiện n thuộc Z, tất cả các giá trị tìm được đều thỏa mãn. Vậy các giá trị của n cần tìm để y có giá trị là một số nguyên là: âm 14, âm 8, âm 6, âm 4, âm 2 và 4.

Hy vọng qua bài hướng dẫn chi tiết này, các em đã nắm vững cách làm dạng toán tìm n nguyên để phân số nguyên. Chúc các em học tập thật tốt!