Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, cô/thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán rất hay về tính chia hết, một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 6 của chúng ta. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài:

Cho số nguyên dương \(n\). Chứng minh rằng biểu thức sau:

\(A = n^3 + 3n^2 + 2n\)

luôn chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên dương \(n\).

Phân tích đề bài và hướng giải quyết:

Để chứng minh một số chia hết cho \(6\), chúng ta cần chứng minh số đó đồng thời chia hết cho \(2\) và chia hết cho \(3\). Điều này là do \(2\) và \(3\) là hai số nguyên tố cùng nhau (ước chung lớn nhất của chúng là \(1\)).

Chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. Phân tích biểu thức \(A\) thành nhân tử (thành tích của các thừa số).
2. Chứng minh rằng \(A\) chia hết cho \(2\).
3. Chứng minh rằng \(A\) chia hết cho \(3\).
4. Rút ra kết luận cuối cùng.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích biểu thức \(A\) thành nhân tử.

Ta có biểu thức:

\(A = n^3 + 3n^2 + 2n\)

Chúng ta thấy rằng tất cả các số hạng đều có thừa số \(n\), nên ta có thể đặt \(n\) làm nhân tử chung:

\(A = n(n^2 + 3n + 2)\)

Tiếp theo, chúng ta cần phân tích biểu thức trong ngoặc \((n^2 + 3n + 2)\) thành nhân tử. Đây là một tam thức bậc hai. Chúng ta có thể tìm hai số có tổng bằng \(3\) và tích bằng \(2\). Đó chính là \(1\) và \(2\).

Vậy, ta có thể viết lại \((n^2 + 3n + 2)\) thành \((n^2 + n + 2n + 2)\). Sau đó nhóm các số hạng:

\(n^2 + n + 2n + 2 = n(n+1) + 2(n+1) = (n+1)(n+2)\).

Do đó, biểu thức \(A\) có thể viết lại thành:

\(A = n(n+1)(n+2)\)

Nhận xét quan trọng: Biểu thức \(A\) chính là tích của ba số nguyên dương liên tiếp: \(n\), \((n+1)\) và \((n+2)\).

Bước 2: Chứng minh \(A\) chia hết cho \(2\).

Như chúng ta đã phân tích ở Bước 1, \(A = n(n+1)(n+2)\) là tích của ba số nguyên dương liên tiếp.

Trong ba số nguyên liên tiếp bất kỳ, luôn có ít nhất một số chẵn (chia hết cho \(2\)).

Ví dụ:

• Nếu \(n\) là số chẵn, thì \(A\) chắc chắn chia hết cho \(2\).
• Nếu \(n\) là số lẻ, thì \((n+1)\) sẽ là số chẵn, khi đó \(A\) cũng chia hết cho \(2\).

Vì vậy, tích của ba số nguyên dương liên tiếp \(n(n+1)(n+2)\) luôn có chứa ít nhất một thừa số là số chẵn.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng:

\(A\) luôn chia hết cho \(2\).

Bước 3: Chứng minh \(A\) chia hết cho \(3\).

Tiếp tục từ nhận xét ở Bước 1, \(A = n(n+1)(n+2)\) là tích của ba số nguyên dương liên tiếp.

Trong ba số nguyên liên tiếp bất kỳ, luôn có đúng một số chia hết cho \(3\).

Ví dụ:

• Nếu \(n\) chia hết cho \(3\), thì \(A\) chắc chắn chia hết cho \(3\).
• Nếu \(n\) chia cho \(3\) dư \(1\), thì \((n+2)\) sẽ chia hết cho \(3\), khi đó \(A\) cũng chia hết cho \(3\). (Ví dụ: nếu \(n=1\), thì \(n+2=3\); nếu \(n=4\), thì \(n+2=6\))
• Nếu \(n\) chia cho \(3\) dư \(2\), thì \((n+1)\) sẽ chia hết cho \(3\), khi đó \(A\) cũng chia hết cho \(3\). (Ví dụ: nếu \(n=2\), thì \(n+1=3\); nếu \(n=5\), thì \(n+1=6\))

Vì vậy, tích của ba số nguyên dương liên tiếp \(n(n+1)(n+2)\) luôn có chứa một thừa số chia hết cho \(3\).

Từ đó, ta có thể kết luận rằng:

\(A\) luôn chia hết cho \(3\).

Bước 4: Rút ra kết luận.

Ở Bước 2, chúng ta đã chứng minh được rằng \(A\) chia hết cho \(2\).

Ở Bước 3, chúng ta đã chứng minh được rằng \(A\) chia hết cho \(3\).

Vì \(A\) chia hết cho cả \(2\) và \(3\), và \(2\) và \(3\) là hai số nguyên tố cùng nhau (ước chung lớn nhất của chúng là \(1\)), nên \(A\) sẽ chia hết cho tích của chúng, tức là \(2 \times 3 = 6\).

Vậy, ta kết luận:

Biểu thức \(A = n^3 + 3n^2 + 2n\) luôn chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên dương \(n\).

Bài giải đến đây là kết thúc. Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng khi chúng ta biết cách phân tích và áp dụng các kiến thức đã học về tính chia hết, nó trở nên rất rõ ràng và logic!

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé!