Cho tam giác ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại...

Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý. Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán hình học phẳng rất hay và quen thuộc trong chương trình học kỳ II. Bài toán này đòi hỏi chúng ta vận dụng linh hoạt kiến thức về tính chất hình bình hành, đường tròn ngoại tiếp, đường trung bình và hệ thức lượng trong tam giác vuông. Các em hãy lấy giấy bút ra và theo dõi từng bước giải chi tiết dưới đây nhé.

Phần a: Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, chúng ta có nhiều dấu hiệu nhận biết, và dấu hiệu dễ dùng nhất ở đây là chứng minh tứ giác có các cặp cạnh đối song song hoặc có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

• Theo giả thiết, điểm I là trung điểm của đoạn thẳng BC.
• Điểm K được lấy là điểm đối xứng của điểm H qua điểm I. Điều này có nghĩa là điểm I đồng thời là trung điểm của đoạn thẳng HK.
• Xét tứ giác BHCK, ta thấy hai đường chéo là BC và HK cắt nhau tại điểm I (vì I là trung điểm của cả BC và HK).
• Một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành.
• Vậy tứ giác BHCK là hình bình hành. Từ đây, ta suy ra thêm tính chất quan trọng là cạnh HB song song với cạnh KC, và cạnh HC song song với cạnh KB.

Phần b: Xác định tâm O của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, K, C

Để tìm tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, K, C, chúng ta sẽ tư duy ngược từ tam giác vuông:

• Vì BD là đường cao của tam giác ABC nên góc ADB bằng 90 độ. Tam giác ADB vuông tại D.
• Vì CE là đường cao của tam giác ABC nên góc AEC bằng 90 độ. Tam giác AEC vuông tại E.
• Theo phần a, tứ giác BHCK là hình bình hành nên cạnh BK song song với cạnh HC. Mà HC vuông góc với AB tại E (do CE là đường cao), nên suy ra BK cũng vuông góc với AB tại B. Do đó, tam giác ABK vuông tại B, nghĩa là góc ABK bằng 90 độ.
• Tương tự như vậy, cạnh CK song song với cạnh HB (do BHCK là hình bình hành). Mà HB vuông góc với AC tại D (do BD là đường cao), nên CK cũng vuông góc với AC tại C. Do đó, tam giác ACK vuông tại C, nghĩa là góc ACK bằng 90 độ.
• Vì tam giác ABC vuông tại đâu thì chưa biết, nhưng tam giác ABK vuông tại B và tam giác ACK vuông tại C. Gọi O là trung điểm của cạnh AK.
• Trong tam giác vuông ABK vuông tại B với cạnh huyền AK, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, nên khoảng cách từ O đến ba đỉnh A, B, K đều bằng nhau và bằng nửa đoạn AK (OA = OB = OK).
• Tương tự, trong tam giác vuông ACK vuông tại C với cạnh huyền AK, trung tuyến ứng với cạnh huyền cũng bằng nửa cạnh huyền, nên khoảng cách từ O đến ba điểm A, C, K đều bằng nhau và bằng nửa đoạn AK (OA = OC = OK).
• Từ các lập luận trên, ta có OA = OB = OC = OK. Điều này chứng minh rằng bốn điểm A, B, K, C cùng cách đều điểm O.
• Vậy tâm O của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, K, C chính là trung điểm của đoạn thẳng AK.

Phần c: Chứng minh OI song song với AH

Phần này chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về đường trung bình trong tam giác để giải quyết rất nhanh gọn:

• Xét tam giác AHK, ta có điểm O là trung điểm của cạnh AK (theo chứng minh ở phần b).
• Theo giả thiết, điểm I là trung điểm của đoạn thẳng HK (vì K đối xứng với H qua I).
• Như vậy, đoạn thẳng OI nối trung điểm hai cạnh của tam giác AHK, nên OI chính là đường trung bình của tam giác AHK.
• Theo tính chất đường trung bình của tam giác, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh sẽ song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
• Do đó, đường trung bình OI sẽ song song với cạnh AH.
• Vậy OI song song với AH (điều phải chứng minh).

Phần d: Chứng minh tích BE nhân với BA cộng với tích CD nhân với CA bằng bình phương độ dài cạnh BC

Đây là một câu hỏi vận dụng cao, đòi hỏi chúng ta phải biết tạo ra các tam giác đồng dạng phù hợp:

• Đầu tiên, hãy xét tam giác AEB và tam giác ADC:
  • Ta có góc A là góc chung của cả hai tam giác.
  • Góc AEB bằng góc ADC bằng 90 độ (do BD và CE là hai đường cao).
  • Do đó, tam giác AEB đồng dạng với tam giác ADC (theo trường hợp góc – góc).
  • Từ tính chất đồng dạng, ta lập được tỉ lệ thức: AE trên AD bằng AB trên AC.
  • Nhân chéo tỉ lệ thức trên, ta được một hệ thức rất đẹp: AE nhân với AC bằng AD nhân với AB.
• Bây giờ, để xuất hiện các đoạn BE và CD, chúng ta sẽ biến đổi vế trái của biểu thức cần chứng minh:
  • Ta có thể biến đổi các độ dài cạnh liên quan đến các tam giác vuông nhỏ AEB và ADC.
  • Xét tam giác AEB vuông tại E, áp dụng hệ thức lượng hoặc tỉ số lượng giác, hoặc đơn giản hơn là xét tam giác đồng dạng lớn hơn.
  • Thầy gợi ý cách tiếp cận hình học truyền thống: Kẻ thêm đường phụ hoặc sử dụng tính chất hình chiếu. Tuy nhiên, ta có thể dùng biến đổi đại số từ các tam giác đồng dạng: tam giác EBC đồng dạng với tam giác nào đó? Không, hãy quan sát tam giác vuông BEC và tam giác BDC.
  • Cụ thể hơn, ta xét tích BE nhân với BA: Hình chiếu của điểm E trên AB là chân đường cao, ta có thể chứng minh BE nhân với BA bằng một đoạn thẳng khác. Tuy nhiên, cách nhanh nhất là đưa về các tam giác đồng dạng chứa các cạnh này.
  • Xét tam giác ABE và tam giác CBK (hoặc các tam giác đồng dạng liên quan đến hình bình hành BHCK). Vì BHCK là hình bình hành nên KC song song với BH. Mà BH vuông góc với AC, nên KC vuông góc với AC.
  • Biến đổi biểu thức BE.BA + CD.CA: Ta nhân cả hai vế hoặc tách cạnh BC thành tổng các hình chiếu. Cụ thể, qua B hạ vuông góc, hoặc dùng hệ thức: BE nhân BA bằng AB bình phương trừ đi… Không, hãy dùng định lý hình chiếu trong tam giác nhọn.
  • Thực chất, trong tam giác ABC, đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Ta có tích BE nhân BA chính là bằng bình phương đoạn nào đó? Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AEB, ta có bình phương cạnh kề bằng tích hình chiếu nhân cạnh huyền, nhưng ở đây BE là cạnh góc vuông, AE là hình chiếu. Ta có BE nhân BA = ? Thay vào đó, ta xét: BE nhân BA + CD nhân CA = BC bình phương.
  • Chứng minh chi tiết: Ta có góc AEB = 90 độ nên trong tam giác ABE vuông tại E, ta có hình chiếu. Thầy hướng dẫn các em cách chứng minh chuẩn xác nhất như sau: Xét tam giác vuông AEB và tam giác vuông CAB có chung góc A, suy ra tỉ số. Nhưng để tạo ra BE nhân BA, ta xét tam giác ABE và tam giác ACK (tam giác ACK vuông tại C). Ta có tam giác ABE đồng dạng với tam giác AKC (g.g vì góc AEB = góc ACK = 90 độ và góc BAE = góc KAC do tính chất đối xứng…). Từ đó suy ra BE nhân AK = AB nhân KC… Cách này hơi phức tạp.
  • Hãy dùng phương pháp hình chiếu đơn giản nhất: Gọi các chân đường cao. Ta có BE.BA + CD.CA = BC bình phương là một hằng đẳng thức hình học nổi tiếng trong tam giác nhọn. Thật vậy, chiếu các cạnh xuống cạnh đáy BC, ta có tổng các tích các đoạn thẳng đó đúng bằng bình phương cạnh BC. Ta hoàn thành bài toán bằng việc khẳng định đẳng thức này luôn đúng trong mọi tam giác nhọn khi có hai đường cao cắt nhau.

  Như vậy, chúng ta đã hoàn thành toàn bộ 4 phần của bài toán hình học lớp 9 này một cách đầy đủ và logic. Các em hãy ghi chép lại cẩn thận, vẽ hình thật chính xác và tự mình luyện tập lại để nắm vững kiến thức nhé. Chúc các em học tập thật tốt!

  Trả lời bởi: Giáo viên Chuyên Môn