cho tam giác abc có ab=6,ac=7,góc a =30 độ.tính độ dài các cạnh và các góc còn l…
Đề bài cho như sau:
Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 6, AC = 7 và góc A = 30 độ. Hãy tính độ dài các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC.
Chúng ta cùng nhau phân tích đề bài và tìm hướng giải nhé!
Bài toán này thuộc dạng “biết hai cạnh và góc xen giữa”, để giải tam giác (tức là tìm tất cả các cạnh và góc còn lại), chúng ta sẽ sử dụng Định lý Cosin và Định lý Sin.
Chúng ta có:
- Cạnh c = AB = 6
- Cạnh b = AC = 7
- Góc A = 30 độ
Cần tìm:
- Cạnh a = BC
- Góc B
- Góc C
Bây giờ, chúng ta sẽ bắt đầu giải chi tiết từng bước một.
Bước 1: Tính độ dài cạnh BC (cạnh a)
Để tính độ dài cạnh BC, chúng ta sẽ áp dụng Định lý Cosin cho cạnh BC trong tam giác ABC.
Công thức Định lý Cosin: \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A\)
Thay các giá trị đã biết vào công thức:
\(BC^2 = AC^2 + AB^2 – 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos A\)
\(BC^2 = 7^2 + 6^2 – 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cos 30^\circ\)
\(BC^2 = 49 + 36 – 84 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(BC^2 = 85 – 42\sqrt{3}\)
Để tìm độ dài cạnh BC, chúng ta lấy căn bậc hai của kết quả trên:
\(BC = \sqrt{85 – 42\sqrt{3}}\)
Sử dụng máy tính bỏ túi, chúng ta có thể tính giá trị xấp xỉ của \(\sqrt{3} \approx 1.73205\):
\(BC \approx \sqrt{85 – 42 \cdot 1.73205}\)
\(BC \approx \sqrt{85 – 72.7461}\)
\(BC \approx \sqrt{12.2539}\)
\(BC \approx 3.50055\) (làm tròn đến 2 chữ số thập phân, \(BC \approx 3.50\))
Vậy, độ dài cạnh BC là khoảng 3.50.
Bước 2: Tính số đo góc B
Để tính số đo góc B, chúng ta có thể sử dụng Định lý Cosin một lần nữa hoặc Định lý Sin. Thầy sẽ dùng Định lý Cosin để tránh trường hợp nhầm lẫn giữa góc tù và góc nhọn khi dùng Định lý Sin.
Công thức Định lý Cosin cho góc B:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B\)
Từ đó, ta suy ra công thức tính \(\cos B\):
\(\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 – AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}\)
Thay các giá trị đã biết và giá trị BC vừa tìm được vào công thức:
\(\cos B = \frac{6^2 + (85 – 42\sqrt{3}) – 7^2}{2 \cdot 6 \cdot \sqrt{85 – 42\sqrt{3}}}\)
\(\cos B = \frac{36 + 85 – 42\sqrt{3} – 49}{12 \cdot \sqrt{85 – 42\sqrt{3}}}\)
\(\cos B = \frac{72 – 42\sqrt{3}}{12 \cdot \sqrt{85 – 42\sqrt{3}}}\)
Sử dụng máy tính để tính giá trị xấp xỉ:
\(\cos B \approx \frac{72 – 42 \cdot 1.73205}{12 \cdot 3.50055}\)
\(\cos B \approx \frac{72 – 72.7461}{42.0066}\)
\(\cos B \approx \frac{-0.7461}{42.0066} \approx -0.01776\)
Vì \(\cos B\) là một số âm, điều này cho thấy góc B là một góc tù (lớn hơn 90 độ).
Tính góc B bằng cách lấy \(\arccos\) của giá trị trên:
\(B = \arccos(-0.01776)\)
\(B \approx 91.017^\circ\)
Vậy, số đo góc B là khoảng 91.02 độ (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).
Bước 3: Tính số đo góc C
Tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 180 độ. Chúng ta đã biết góc A và góc B, vậy có thể dễ dàng tìm được góc C:
\(C = 180^\circ – A – B\)
\(C = 180^\circ – 30^\circ – 91.017^\circ\)
\(C = 150^\circ – 91.017^\circ\)
\(C = 58.983^\circ\)
Vậy, số đo góc C là khoảng 58.98 độ (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).
Kiểm tra lại một chút:
Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất sẽ là cạnh dài nhất.
Cạnh BC \(\approx 3.50\), đối diện với góc A = 30 độ (góc nhỏ nhất).
Cạnh AB = 6, đối diện với góc C \(\approx 58.98\) độ (góc trung bình).
Cạnh AC = 7, đối diện với góc B \(\approx 91.02\) độ (góc lớn nhất).
Điều này hoàn toàn hợp lý, cạnh AC là cạnh dài nhất và góc B là góc lớn nhất.
Kết luận:
Vậy, các cạnh và góc còn lại của tam giác ABC là:
- Độ dài cạnh BC \(\approx\) 3.50
- Góc B \(\approx\) 91.02 độ
- Góc C \(\approx\) 58.98 độ
Các em nhớ ôn lại Định lý Cosin và Định lý Sin thật kỹ để áp dụng vào các bài toán giải tam giác nhé!
Áp dụng đlý cosin cho \(triangleABC\) có:
\(BC^2 = AB^2 + AC^2- 2AB . AC . cos hat{BAC}\)
\(BC^2 = 6^2 + 7^2 – 2 . 6 . 7 . cos30^@ = 85 – 42\sqrt{3}\)
\(BC = \sqrt{85 – 42\sqrt{3}}\)
Áp dụng đlý sin cho \(triangleABC\) có:
\((AB)/( sin hat{C} ) = ( AC )/( sin hat{B} ) = ( BC )/( sin hat{A} )\)
\(6/( sin hat{C} ) = 7/( sin hat{B} ) = ( \sqrt{85 – 42\sqrt{3}})/( sin30^@ ) = 2\sqrt{85 – 42\sqrt{3}}\)
\(sin hat{C} = 3/( \sqrt{85 – 42\sqrt{3}} ) ≈ sin 58,98^@\)
\(sin hat{B} = 7/(2\sqrt{85 – 42\sqrt{3}} ) ≈ sin 88,98^@\)
\(=> hat{B} ≈ 88,98^@ ; hat{C} ≈ 58,98^@\)
Áp dụng định lý cosin trong \(ΔABC\) ta có:
\(BC^2=AB^2 +AC^2 -2.AB.AC.cosA\)
\(BC^2=6^2 +7^2-2.6.7.cos30^@\)
\(BC^2=36+49-84. sqrt(3)/2\)
\(BC^2=85-42sqrt(3)\)
\(=> BC=sqrt(85-42sqrt(3))\)
Áp dụng định lí \(sin\) trong \(ΔABC\) ta có:
\((BC)/sin hat(A)=(AB)/sin hat(C)\)
\(->sin hat(C)=AB.sin hat(A)/(BC)\)
\(->sin hat(C)=6.sin(30^@)/sqrt(85-42sqrt(3))\)
\(->sin hat(C)=6.(1/2)/sqrt(85-42sqrt(3))\)
\(->sin hat(C)=3/sqrt(85-42sqrt(3))\)
\(=>hat(C)~~59^@\)
Áp dụng định lí \(sin\) cho \(ΔABC\) ta có:
\((BC)/sin hat(A)=(AC)/sin hat(B)\)
\(=>sin hat(B)=AC.sin hat(A)/(BC)\)
\(=>sin hat(B)=7.sin(30^@)/sqrt(85-42sqrt(3))\)
\(=>sin hat(B)=7.(1/2)/sqrt(85-42sqrt(3))\)
\(=>sin hat(B)=7/(2sqrt(85-42sqrt(3)))\)
\(=>hat(B)~~91^@\)
Vậy \(BC=sqrt(85-42sqrt(3)),hat(B)~~91^@,hat(C)~~59^@\)
________
\(***\) Định lí cosin trong \(ΔABC\):
\(a^2=b^2+c^2-2.b.c.cos hat(A)\)
\(b^2=a^2+c^2-2.a.c.cos hat(B)\)
\(c^2=a^2+b^2-2.a.b.cos hat(C)\)
\(***\) Định lí sin trong \(ΔABC\):
\(a/sin hat(A)=b/sin hat(B)=c/sin hat(C)=2.R\)
\(\color{#0B6623}{♡^♡}\color{#0F7A2F}{𝕲}\color{#138F3C}{𝖎}\color{#17A34A}{𝖆}\color{#2EBF5E}{𝖆} \ \color{#4DD17A}{ } \
\color{#6FE095}{𝕻}\color{#8BE8AA}{𝖍}\color{#A6F0BF}{𝖔}
\color{#C0F7D3}{𝖓}\color{#D8FBE4}{𝖌}\color{#ECFFF1}{𝖌}\color{#0B6623}{♡^♡}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment