Chào các em học sinh!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán hình học về tính diện tích tam giác. Đây là dạng bài thường gặp và rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Đề bài: Cho tam giác ABC có \(\angle B = 60^\circ\), \(\angle C = 45^\circ\), cạnh \(AC = 3.5\). Tính diện tích tam giác ABC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải bài toán này một cách chi tiết nhé!

Phân tích đề bài và Lập kế hoạch giải:

• Chúng ta đã biết hai góc của tam giác (\(\angle B\) và \(\angle C\)) và độ dài một cạnh (\(AC\)).
• Để tính diện tích tam giác, chúng ta có thể sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2} \times \text{cạnh} \times \text{cạnh} \times \sin(\text{góc xen giữa})\).
• Với các thông tin đã cho, chúng ta có thể:
1. Tìm góc còn lại của tam giác (góc A).
2. Sử dụng Định lí Sin để tìm độ dài một cạnh còn lại (ví dụ, cạnh AB hoặc BC).
3. Sau đó, áp dụng công thức diện tích tam giác.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính số đo góc A của tam giác ABC.

Chúng ta biết rằng tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng \(180^\circ\).

Áp dụng vào tam giác ABC, ta có:

\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\)

Thay các giá trị đã cho vào:

\(\angle A + 60^\circ + 45^\circ = 180^\circ\)
\(\angle A + 105^\circ = 180^\circ\)
\(\angle A = 180^\circ – 105^\circ\)
\(\angle A = 75^\circ\)

Vậy, góc A của tam giác ABC là \(75^\circ\).

Bước 2: Áp dụng Định lí Sin để tìm độ dài cạnh AB.

Để tính diện tích bằng công thức \(S = \frac{1}{2} \times AC \times AB \times \sin A\), chúng ta cần tìm độ dài cạnh \(AB\).

Theo Định lí Sin trong tam giác ABC, ta có tỉ lệ:

\(\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}\)

Thay các giá trị đã biết vào:

\(\frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{3.5}{\sin 60^\circ}\)

Từ đó, ta tính được độ dài cạnh AB:

\(AB = \frac{3.5 \times \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}\)

Chúng ta biết các giá trị lượng giác đặc biệt:

\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Thay vào biểu thức của AB:

\(AB = \frac{3.5 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(AB = \frac{3.5 \times \sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
\(AB = \frac{3.5\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}\) (Nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3}\) để trục căn thức ở mẫu)
\(AB = \frac{3.5\sqrt{6}}{3}\)

Chúng ta sẽ giữ giá trị chính xác này để tính diện tích ở bước tiếp theo nhằm đảm bảo độ chính xác cao nhất.

Bước 3: Tính diện tích tam giác ABC.

Bây giờ chúng ta đã có độ dài hai cạnh AC, AB và góc xen giữa hai cạnh đó là \(\angle A = 75^\circ\). Ta sử dụng công thức diện tích:

\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times AB \times \sin A\)

Thay các giá trị đã tìm được vào công thức:

\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 3.5 \times \left( \frac{3.5\sqrt{6}}{3} \right) \times \sin 75^\circ\)

Để tính \(\sin 75^\circ\), chúng ta có thể sử dụng công thức cộng:

\(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ\)
\(= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}\)
\(= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

Tiếp tục thay giá trị của \(\sin 75^\circ\) vào công thức diện tích:

\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 3.5 \times \frac{3.5\sqrt{6}}{3} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

\(S_{ABC} = \frac{(3.5)^2 \times \sqrt{6} \times (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \times 3 \times 4}\)

\(S_{ABC} = \frac{12.25 \times (6 + \sqrt{12})}{24}\)

\(S_{ABC} = \frac{12.25 \times (6 + 2\sqrt{3})}{24}\)

Ta có thể rút gọn số 2 ở tử số:

\(S_{ABC} = \frac{12.25 \times 2(3 + \sqrt{3})}{24}\)

\(S_{ABC} = \frac{12.25 (3 + \sqrt{3})}{12}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị xấp xỉ. Sử dụng giá trị \(\sqrt{3} \approx 1.73205\):

\(S_{ABC} \approx \frac{12.25 \times (3 + 1.73205)}{12}\)
\(S_{ABC} \approx \frac{12.25 \times 4.73205}{12}\)
\(S_{ABC} \approx \frac{57.9776125}{12}\)
\(S_{ABC} \approx 4.8314677…\)

Bước 4: Làm tròn kết quả theo yêu cầu.

Đề bài yêu cầu làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất. Ta có \(S_{ABC} \approx 4.8314677…\).

Chữ số thập phân thứ nhất là 8. Chữ số ngay sau nó là 3 (nhỏ hơn 5), nên ta làm tròn xuống.

\(S_{ABC} \approx 4.8\)

Kết luận:

Vậy, diện tích tam giác ABC là khoảng \(4.8\) đơn vị diện tích.

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ các bước giải bài toán này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!