Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, tính GA+GB+GC
Chào các em học sinh lớp 10 yêu quý! Thầy cô rất vui được đồng hành cùng các em trong môn Toán. Đây là một câu hỏi rất hay về phần Vectơ và Hình học không gian lớp 10, giúp các em củng cố kiến thức về trọng tâm tam giác. Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải chi tiết nhé.
Bước 1: Nhắc lại định nghĩa và tính chất trọng tâm
- Trong một tam giác, giao điểm của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác đó.
- Tính chất quan trọng nhất của trọng tâm mà chúng ta đã học là: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì đối với mọi điểm M bất kỳ trong mặt phẳng, ta luôn có hệ thức MA cộng MB cộng MC bằng ba lần MG.
Bước 2: Áp dụng vào bài toán cụ thể
- Vì điểm G chính là trọng tâm của tam giác ABC, nên theo tính chất trọng tâm vừa ôn tập ở trên, ta thay điểm M bằng chính điểm G.
- Khi đó, vectơ GA cộng vectơ GB cộng vectơ GC sẽ bằng ba lần vectơ GG.
Bước 3: Kết luận kết quả
- Ta đã biết vectơ GG là vectơ không, vì điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
- Do đó, số ba nhân với vectơ không vẫn cho kết quả là vectơ không.
- Vậy tổng của ba vectơ GA, GB và GC bằng vectơ không.
Lời khuyên từ giáo viên: Khi làm các bài tập hình học lớp 10 liên quan đến trọng tâm tam giác, các em hãy nhớ thuộc lòng tính chất của trọng tâm. Đây là chiếc chìa khóa vàng giúp các em giải quyết nhanh chóng các bài toán chứng minh đẳng thức vectơ hay tính toán độ dài đấy. Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán!
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC => MB = MC\)
có \(G\) là trọng tâm \(=> AG = 2/3AM\)
\(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}\)
\(= 2\vec{MG} + \vec{GM} + \vec{MB} + \vec{GM} + \vec{MC}\)
\(= 2\vec{MG} + 2\vec{GM} + \vec{MB} + \vec{MC}\)
\(= 2\vec{MG} – 2\vec{MG} + \vec{MB} – \vec{MB}\)
\(= \vec{0} + \vec{0}\)
\(= \vec{0}\)
Đáp án \(+\) Giải thích các bước giải:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\)
\(⇒\vec{AM}=3/2 \vec{AG}\)
Mà \(2\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{AC}\)
nên \(\vec{AB}+\vec{AC}=2. 3/2 \vec{AG}\)
\(⇒\vec{AB}+\vec{AC}=-3 \vec{GA}\)
Tương tự, ta cũng có:
\(\vec{BA}+\vec{BC}=-3 \vec{GB}\)
\(\vec{CA}+\vec{CB}=-3 \vec{GC}\)
\(⇒\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BA}+\vec{BC}+\vec{CA}+\vec{CB}=-3 \vec{GA}-3 \vec{GB}-3 \vec{GC}\)
\(⇒(\vec{AB}+\vec{BA})+(\vec{AC}+\vec{CA})+(\vec{BC}+\vec{CB})=-3(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC})\)
\(⇒\vec{A A}+\vec{A A}+\vec{BB}=-3(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC})\)
\(⇒\vec{0}+\vec{0}+\vec{0}=-3(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC})\)
\(⇒\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment