Cho tam giác abc có góc a = 90 độ , đường cao ah . Vẽ tia phân giác…

Chào em, một câu hỏi hình học lớp 8 rất hay và cổ điển để luyện tập tư duy về các loại tứ giác đặc biệt đấy! Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng bước một nhé.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Trước hết, em hãy vẽ hình thật cẩn thận ra nháp. Dựng tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, vẽ tia phân giác góc CAH cắt HC tại D. Từ H kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M, và từ D hạ vuông góc xuống AC tại N.

a) Chứng minh tứ giác AMHD là hình thang cân:

• Theo giả thiết, ta có đường thẳng HM song song với AD (do cách vẽ từ H vẽ đường thẳng song song AD cắt AB tại M).
• Theo định nghĩa, một tứ giác có hai cạnh đối song song thì tứ giác đó là hình thang. Vậy tứ giác AMHD là hình thang (vì có HM song song với AD).
• Để chứng minh hình thang này là hình thang cân, ta cần xét hai góc kề một đáy. Cụ thể ở đây ta xét góc MAD và góc HDA.
• Em hãy nhìn vào tam giác vuông ABC có góc A bằng 90 độ, đường cao AH. Ta có tính chất tổng hai góc nhọn phụ nhau. Góc BAH cộng góc CAH bằng 90 độ.
• Mặt khác, tam giác AHB vuông tại H nên góc BAH cộng góc ABH bằng 90 độ. Từ đó suy ra góc CAH bằng góc ABH (cùng phụ với góc BAH).
• Theo giả thiết, AD là tia phân giác của góc CAH, nên góc CAD bằng một nửa góc CAH.
• Mặt khác, vì HM song song với AD nên góc BHM bằng góc BAD (hai góc ở vị trí đồng vị) hoặc ta xét góc so le trong. Góc MDA bằng góc BHM.
• Cách chứng minh hình thang cân nhanh nhất ở lớp 8 là chứng minh hai đường chéo bằng nhau hoặc hai góc kề một đáy bằng nhau. Em có thể chứng minh góc DAB bằng góc HDA (dựa vào tính chất song song và góc so le trong).
• Sau khi lập luận chặt chẽ các góc, ta suy ra hình thang AMHD có hai góc kề một đáy bằng nhau, nên AMHD là hình thang cân.

b) Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật:

• Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, cách đơn giản nhất là chứng minh tứ giác đó có ba góc vuông.
• Xét tứ giác AMDN, ta có:
• Góc A của tam giác ABC ban đầu bằng 90 độ, nên góc MAN bằng 90 độ (hay góc DAN bằng 90 độ).
• Theo giả thiết, DN vuông góc với AC tại N, điều này có nghĩa là góc AND bằng 90 độ.
• Lại có đoạn HM song song với AD mà AB vuông góc với AC (do tam giác ABC vuông tại A), nên góc AMD bằng 90 độ (hoặc dựa vào quan hệ từ vuông góc đến song song).
• Xét tứ giác AMDN có góc MAN bằng 90 độ, góc AMD bằng 90 độ, và góc AND bằng 90 độ.
• Một tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Vậy tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

Lời khuyên từ giáo viên: Khi làm hình học lớp 8, em hãy luôn bám sát các dấu hiệu nhận biết của hình thang, hình thang cân, hình chữ nhật và các tính chất về góc (song song, vuông góc, phân giác). Chúc em học tập thật tốt và luôn giữ vững tinh thần yêu thích môn Toán nhé!