Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại...

Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Thầy cô rất vui được đồng hành cùng các em trong chuyên mục ôn tập hình học hôm nay. Bài toán tam giác nhọn với các đường cao cắt nhau là một dạng toán kinh điển, xuất hiện rất nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Chắc hẳn phần cuối của đề bài còn thiếu một chút về điểm D, nhưng không sao, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục trọn vẹn từng bước một cho ba câu hỏi đầu tiên thật chi tiết và dễ hiểu nhé!

Phần a: Chứng minh tam giác FHB đồng dạng với tam giác EHC

Để chứng minh hai tam giác này đồng dạng, chúng ta sẽ sử dụng trường hợp góc – góc quen thuộc. Các em hãy chú ý quan sát các yếu tố sau:

• Xét tam giác FHB vuông tại F (do CF là đường cao) và tam giác EHC vuông tại E (do BE là đường cao).
• Trước hết, ta có góc BFH bằng góc CEH và cùng bằng 90 độ.
• Tiếp theo, ta xét hai góc đối đỉnh là góc FHB và góc EHC. Hai góc này bằng nhau vì chúng đối đỉnh tại điểm H.
• Như vậy, tam giác FHB và tam giác EHC đã có đủ hai cặp góc tương ứng bằng nhau.
• Kết luận: Tam giác FHB đồng dạng với tam giác EHC theo trường hợp góc – góc. Từ tỉ số đồng dạng này, các em có thể suy ra các hệ thức nhân chéo rất hữu ích cho các câu sau như HB nhân HE bằng HF nhân HC.

Phần b: Chứng minh tích AF nhân AB bằng AE nhân AC

Khi gặp các bài toán yêu cầu chứng minh tích của hai đoạn thẳng bằng nhau, phản xạ tự nhiên của chúng ta là đưa về việc chứng minh hai tam giác đồng dạng rồi suy ra tỉ số đồng dạng, sau đó nhân chéo. Cụ thể như sau:

• Các em hãy nhìn vào các đoạn thẳng AF, AB, AE và AC. Chúng xuất hiện trong hai tam giác là tam giác ABE và tam giác ACF.
• Xét tam giác ABE và tam giác ACF, ta thấy chúng có chung góc A ở đỉnh.
• Bên cạnh đó, ta có góc AEB bằng góc AFC và cùng bằng 90 độ (do BE và CF là hai đường cao).
• Do đó, tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF theo trường hợp góc – góc.
• Từ hai tam giác đồng dạng này, ta lập tỉ số đồng dạng: AE trên AB bằng AF trên AC (cạnh tương ứng tỉ lệ).
• Nhân chéo tỉ số trên, ta ngay lập tức thu được điều phải chứng minh: AF nhân AB bằng AE nhân AC. Thật gọn gàng và logic phải không các em!

Phần c: Khai thác tính chất đường thẳng song song và trung điểm

Đến với câu hỏi này, giả thiết cho đường thẳng qua B song song với EF cắt AC tại M, kết hợp với điểm I là trung điểm của BM. Đây là câu mang tính phân loại cao, đòi hỏi các em phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học:

• Vì đường thẳng qua B song song với EF nên sẽ tạo ra các góc so le trong và góc đồng vị bằng nhau, giúp chúng ta tính toán hoặc chuyển đổi tỉ lệ đoạn thẳng trên cạnh AC.
• Sự xuất hiện của điểm I là trung điểm của BM gợi ý cho chúng ta sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác hoặc các định lý về tỉ số đoạn thẳng (như định lý Talet).
• Mặc dù đề bài chưa trọn vẹn phần D ở cuối, nhưng thông thường câu hỏi này sẽ yêu cầu chứng minh một hệ thức hình học mới, chứng minh một điểm là trung điểm, hoặc chứng minh tính vuông góc.
• Lời khuyên dành cho các em ở dạng này là hãy vẽ hình thật chính xác, to rõ ràng, kí hiệu đầy đủ các góc vuông và các đoạn thẳng bằng nhau để dễ dàng nhìn ra hướng đi.

Lời khuyên từ giáo viên: Hình học không hề khó nếu các em nắm chắc các dấu hiệu nhận biết tam giác đồng dạng và các hệ thức lượng trong tam giác vuông. Hãy chăm chỉ luyện tập vẽ hình và trình bày từng bước rõ ràng như trên nhé. Chúc các em học tập thật tốt và đạt kết quả cao!