Cho tam giác ABC nhọn, các đường trung tuyến BN và CM cắt nhau tại G…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết một bài toán rất hay và điển hình về hình học 8, đó là chuyên đề về đường trung bình của tam giác và dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình chữ nhật. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Phần a: Chứng minh tứ giác MNKI là hình bình hành

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, chúng ta có nhiều cách. Trong bài toán này, cách ngắn gọn và tối ưu nhất là sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác kết hợp với dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành.

• Bước 1: Xét tam giác ABC

  Theo giả thiết, M là trung điểm của AB (vì CM là đường trung tuyến) và N là trung điểm của AC (vì BN là đường trung tuyến).
  Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC.
  Theo tính chất đường trung bình, ta suy ra MN song song với BC và độ dài MN bằng một nửa độ dài BC (MN = 1/2 BC). (1)

• Bước 2: Xét tam giác GBC

  Điểm G là giao điểm của hai đường trung tuyến BN và CM (nên G là trọng tâm của tam giác ABC).
  Theo giả thiết, I là trung điểm của BG, K là trung điểm của CG.
  Do đó, IK là đường trung bình của tam giác GBC.
  Theo tính chất đường trung bình, ta suy ra IK song song với BC và độ dài IK bằng một nửa độ dài BC (IK = 1/2 BC). (2)

• Bước 3: Kết luận tứ giác MNKI là hình bình hành

  Từ (1) và (2), ta thấy cả đoạn thẳng MN và IK đều cùng song song với đoạn thẳng BC và cùng bằng một nửa độ dài của BC.
  Suy ra MN song song với IK và MN = IK.
  Xét tứ giác MNKI có một cặp cạnh đối (MN và IK) vừa song song vừa bằng nhau, nên tứ giác MNKI là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết).

Phần b: Tìm điều kiện của tam giác ABC để MNKI là hình chữ nhật

Ở phần a, chúng ta đã chứng minh được MNKI là hình bình hành. Bây giờ, bài toán yêu cầu tìm điều kiện để hình bình hành này trở thành hình chữ nhật.

• Nhắc lại kiến thức: Hình bình hành muốn trở thành hình chữ nhật thì cần có thêm điều kiện gì? Đó là hình bình hành phải có một góc vuông, hoặc có hai đường chéo bằng nhau. Trong bài này, sử dụng điều kiện góc vuông là dễ nhìn ra nhất.
• Phân tích hình vẽ: Các cạnh của tứ giác MNKI là MN và IK song song với BC. Các cạnh MK và NI song song với các đường trung tuyến CM và BN.
  Để góc của hình bình hành MNKI là góc vuông (ví dụ góc MNK hoặc góc NKI bằng 90 độ), ta cần các cặp cạnh này vuông góc với nhau.
  Cụ thể, đoạn thẳng MN song song với BC, còn đoạn thẳng NI nằm trên đường trung tuyến BN. Do đó, để MN vuông góc với NI thì đường trung tuyến BN phải vuông góc với cạnh BC.
• Kết luận điều kiện của tam giác ABC:

  Tam giác ABC ban đầu cần phải có thêm điều kiện đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B (tức là đường trung tuyến BN) phải vuông góc với cạnh đối diện AC hay vuông góc với cạnh BC?
  Thầy/cô đính chính lại một chút cho chuẩn xác nhé: Do MN song song với BC, nên để góc MNK vuông thì cạnh NI (nằm trên đường trung tuyến BN) phải vuông góc với cạnh MN (song song với BC). Điều này đồng nghĩa với việc đường trung tuyến BN phải vuông góc với cạnh AC.
  Tương tự như vậy, nếu xét đối xứng qua đường trung tuyến còn lại, điều kiện tổng quát và đẹp nhất cho tam giác ABC là: Tam giác ABC phải là tam giác cân tại B (hoặc tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh nào đó đồng thời là đường cao), hoặc cụ thể hơn trong hệ trục của bài toán này là tam giác ABC cần có hai đường trung tuyến BN và CM vuông góc với nhau, hoặc đường trung tuyến BN vuông góc với cạnh AC.
  Thông thường, để nhớ nhanh dạng toán này ở lớp 8, điều kiện để hình bình hành trung gian này thành hình chữ nhật là tam giác ABC phải có hai đường trung tuyến BN và CM vuông góc với nhau (hoặc tam giác cân thỏa mãn tính chất vuông góc của đường trung tuyến tương ứng).

Hy vọng qua lời giải chi tiết trên, các em đã nắm vững cách áp dụng định lý đường trung bình vào việc chứng minh hình học và tư duy tìm điều kiện của hình học nâng cao. Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán!