cho tam giác ABC nhọn có AB

Chào em, thầy cô đã sẵn sàng giúp em giải quyết bài toán hình học lớp 8 này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất. Em hãy bình tĩnh lấy giấy bút ra và làm theo các bước hướng dẫn dưới đây nhé!

Hướng dẫn giải chi tiết:

a, Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành

• Đầu tiên, em hãy xét tam giác ABH và tam giác CDH nào đó? Không cần phức tạp thế đâu, ta dùng tính chất đường chéo nhé.
• Theo giả thiết, ta có N là trung điểm của đoạn thẳng AC.
• Điểm D nằm trên tia BN sao cho BN bằng ND, điều này có nghĩa là N cũng là trung điểm của đoạn thẳng BD.
• Xét tứ giác ABCD, ta thấy hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường.
• Theo dấu hiệu nhận biết, một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành.
• Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành (điều phải chứng minh).

b, Kẻ AP vuông góc với BC, CQ vuông góc với AD. Chứng minh ba điểm P, N, Q thẳng hàng

• Để chứng minh ba điểm P, N, Q thẳng hàng, chúng ta sẽ chứng minh điểm N nằm trên đường thẳng PQ, hoặc chứng minh góc PNQ là góc bẹt (bằng 180 độ). Cách hay nhất là chứng minh tam giác APN bằng tam giác CQN.
• Vì tứ giác ABCD là hình bình hành (theo câu a), nên ta có các tính chất sau:
  • Cạnh AB song song với cạnh CD.
  • Cạnh AB bằng cạnh CD.
• Vì AB song song với CD, nên góc PAN và góc QCN là hai góc so le trong bằng nhau.
• Xét tam giác APN (vuông tại P do AP vuông góc với BC) và tam giác CQN (vuông tại Q do CQ vuông góc với AD):
  • Cạnh AN bằng cạnh CN (vì N là trung điểm của AC).
  • Góc PAN bằng góc QCN (chứng minh trên).
• Do đó, tam giác vuông APN bằng tam giác vuông CQN (theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn).
• Suy ra, đoạn thẳng PN bằng đoạn thẳng QN (hai cạnh tương ứng).
• Mặt khác, ta có điểm N nằm giữa hai điểm P và Q (do vị trí đối xứng qua tâm N).
• Vì PN bằng NQ và N nằm giữa P, Q nên N chính là trung điểm của đoạn thẳng PQ.
• Điều này suy ra ba điểm P, N, Q thẳng hàng (điều phải chứng minh).

Lời khuyên từ giáo viên: Bài toán này rất cơ bản trong chương trình Hình học lớp 8 học kỳ 1. Em chỉ cần nắm vững các dấu hiệu nhận biết hình bình hành và chứng minh hai tam giác bằng nhau là sẽ làm tốt mọi bài dạng này. Chúc em học tốt và đạt điểm cao!