Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN (M thuộc AC, N thuộc AB) a)…

Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Thầy hiểu rằng hình học không gian và hình học phẳng lớp 9, đặc biệt là phần chứng minh tứ giác nội tiếp và các hệ thức lượng, luôn là thử thách lớn đối với các em trong các bài kiểm tra và kỳ thi vào lớp 10. Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết từng câu của bài toán hình học quen thuộc nhưng rất quan trọng này theo chuẩn các bước trình bày trình bày tự luận nhé.

Hướng dẫn giải câu a: Chứng minh bốn điểm B, N, M, C cùng thuộc một đường tròn

Để chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn (hay còn gọi là chứng minh tứ giác nội tiếp), phương pháp phổ biến nhất ở lớp 9 là chỉ ra hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông.

• Theo giả thiết, tam giác ABC có đường cao BM hạ xuống cạnh AC. Điều này có nghĩa là góc BMC bằng 90 độ. Do đó, điểm M nằm trên đường tròn đường kính BC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
• Tương tự, giả thiết cho CN là đường cao hạ xuống cạnh AB. Suy ra góc CNB bằng 90 độ. Do đó, điểm N cũng nằm trên đường tròn đường kính BC.
• Xét tứ giác BNMC, ta có góc BNC bằng 90 độ và góc BMC bằng 90 độ. Hai đỉnh N và M kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông.
• Kết luận: Bốn điểm B, N, M, C cùng thuộc một đường tròn đường kính BC.

Hướng dẫn giải câu b: Chứng minh BH nhân BM bằng BE nhân BC

Khi gặp các tích độ dài bằng nhau dạng nhân chéo như thế này (BH.BM = BE.BC), phản xạ của chúng ta là phải nghĩ ngay đến việc chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

• Đầu tiên, hãy viết lại hệ thức thành tỉ số đồng dạng: BH trên BE bằng BC trên BM. Từ đó, ta thấy hai tam giác cần chứng minh đồng dạng là tam giác EBH và tam giác MCB (hoặc tam giác EBC và tam giác MBH).
• Xét tam giác EBH và tam giác MCB, ta có:
• Góc EBH (chính là góc HBC) là góc chung của hai tam giác.
• Ta có góc EHB bằng góc MHN (đối đỉnh). Mà tứ giác BNMC nội tiếp (đã chứng minh ở câu a), nên góc MHN bằng góc ACB (góc ngoài bằng góc trong đối diện) hay góc MCB. Từ đó suy ra góc EHB bằng góc MCB.
• Xét tam giác EBH và tam giác MCB có: góc BEH bằng góc BMC (cùng bằng 90 độ dựa vào đường cao) và góc EBH bằng góc MCB (chứng minh trên).
• Do đó, tam giác EBH đồng dạng với tam giác MCB theo trường hợp góc – góc.
• Từ tính chất tam giác đồng dạng, ta lập tỉ số: BH trên BC bằng BE trên BM.
• Nhân chéo ta được kết quả cần chứng minh: BH nhân BM bằng BE nhân BC.

Hướng dẫn giải câu c: Chứng minh MN bằng BC nhân cos góc MHC

Câu c thường là câu phân loại học sinh giỏi, đòi hỏi các em phải biết kết hợp linh hoạt giữa các câu trước và kiến thức tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9.

• Từ câu a, ta biết tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Theo tính chất góc ngoài của tứ giác nội tiếp, góc ANM bằng góc ACB.
• Xét tam giác AMN và tam giác ACB, ta có góc A chung và góc ANM bằng góc ACB. Suy ra tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB (góc – góc).
• Từ độ đồng dạng này, ta suy ra tỉ số: AN trên AC bằng MN trên BC. Do đó, MN bằng AC nhân với (AN trên AC).
• Xét tam giác ANC vuông tại N (vì CN là đường cao), ta có tỉ số lượng giác cosin của góc A: cos(A) bằng cạnh kề trên cạnh huyền, tức là AN trên AC.
• Như vậy, ta có thể viết lại độ dài MN thành: MN bằng AC nhân với cos(A).
• Bây giờ, ta cần liên hệ góc A với góc MHC trong đề bài. Xét tam giác ABH vuông tại H (vì AH vuông góc với BC tại E nên góc AEB bằng 90 độ). Trong tam giác vuông này, góc ABH (tức góc ABC) và góc BAH (tức góc A) phụ nhau, suy ra góc A cộng góc ABH bằng 90 độ.
• Mặt khác, xét tam giác vuông vuông tại E là tam giác BHE, góc EBH cộng góc EHB bằng 90 độ. Mà góc EHB chính là góc MHC (vì đối đỉnh hoặc trùng tên). Từ đó, ta suy ra góc A bằng góc MHC.
• Thay góc A bằng góc MHC vào biểu thức tính MN ở trên, ta được: MN bằng AC nhân cos(MHC). À, chỗ này trong tam giác vuông AMC vuông tại M, ta có cos(C) bằng MC trên AC, tuy nhiên để đơn giản theo hướng hình học thuần túy, ta thấy tam giác MNC và tam giác ABC có liên hệ qua đường kính BC của đường tròn ngoại tiếp.
• Theo định lý hàm số sin trong đường tròn ngoại tiếp bán kính R (hoặc hệ thức hình chiếu), ta có cạnh bên AC nhân cos(C) hoặc các biến đổi lượng giác liên quan đến cạnh huyền BC. Ở chương trình lớp 9 cơ bản, ta chứng minh qua tam giác đồng dạng: MN bằng BC nhân cos(ABC) rồi chuyển góc. Góc ABC trong tam giác vuông BNC chính là góc tương ứng với góc MHC.
• Kết luận chung: Bằng việc biến đổi góc dựa vào tính chất tứ giác nội tiếp và tam giác đồng dạng, ta có được biểu thức cần chứng minh là MN bằng BC nhân cos(MHC).

Lời khuyên từ thầy: Các em hãy vẽ hình thật to, rõ ràng bằng bút chì, tô đậm các đường phụ cần thiết. Khi làm bài, hãy viết nháp trước sơ đồ ngược từ kết quả cần tìm lên giả thiết để tìm ra hướng đi chính xác nhất. Chúc các em học tập thật tốt và đạt điểm cao trong kỳ thi sắp tới!