Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, R) cố định. Kẻ các…

Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải chi tiết một bài toán hình học phẳng rất kinh điển và quan trọng trong chương trình Toán 9, liên quan đến đường tròn, tam giác nhọn và các đường cao. Bài toán này xuất hiện rất nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Các em hãy lấy giấy bút ra và theo dõi thật kỹ từng bước chứng minh dưới đây nhé.

Hình vẽ phác thảo và Hướng dẫn chung:

Trước khi đi vào từng câu, các em hãy vẽ một đường tròn tâm (O) bán kính R, sau đó vẽ tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn. Lần lượt kẻ ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại trực tâm H. Vẽ đường kính AK của đường tròn (O) và gọi I là trung điểm của BC. Chúng ta sẽ cùng giải quyết từng câu một cách mạch lạc nhất.

a) Chứng minh các tứ giác BFEC và AFHE nội tiếp:

• Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp:

  Theo giả thiết, BE và CF là hai đường cao của tam giác ABC xuất phát từ B và C.

  Do BE vuông góc với AC nên góc BEC bằng 90 độ.

  Do CF vuông góc với AB nên góc BFC bằng 90 độ.

  Như vậy, đỉnh E và đỉnh F cùng nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc bằng 90 độ.

  Theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông), ta suy ra tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

• Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp:

  Xét tứ giác AFHE, ta có:

  Góc AFH bằng 90 độ (do CF là đường cao hạ xuống AB).

  Góc AEH bằng 90 độ (do BE là đường cao hạ xuống AC).

  Tổng của góc AFH và góc AEH bằng 90 độ cộng 90 độ bằng 180 độ.

  Vì tổng hai góc đối diện trong tứ giác AFHE bằng 180 độ, nên theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp (đường tròn đường kính AH).

b) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành:

Để chứng minh BHCK là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh các cặp cạnh đối song song với nhau.

Xét đường tròn (O) có AK là đường kính, góc ACK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc ACK bằng 90 độ. Suy ra KC vuông góc với AC.

Mặt khác, BE là đường cao của tam giác ABC nên BE vuông góc với AC, hay BH vuông góc với AC.

Từ việc KC vuông góc với AC và BH vuông góc với AC, ta suy ra BH song song với KC.

Tương tự như vậy, góc ABK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc ABK bằng 90 độ. Suy ra KB vuông góc với AB.

Mặt khác, CF là đường cao của tam giác ABC nên CF vuông góc với AB, hay CH vuông góc với AB.

Từ việc KB vuông góc với AB và CH vuông góc với AB, ta suy ra CH song song với KB.

Xét tứ giác BHCK, ta có BH song song với KC và CH song song với KB.

Vậy tứ giác BHCK là hình bình hành (theo định nghĩa tứ giác có các cặp cạnh đối song song).

Hệ quả thú vị cho các em: Vì BHCK là hình bình hành nên hai đường chéo BC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I là trung điểm của BC, do đó I cũng là trung điểm của HK. Điểm O, I, K thẳng hàng giúp ích rất nhiều cho các câu nâng cao sau này.

c) Chứng minh DC nhân DB bằng DH nhân DA:

Để chứng minh đẳng thức tích dạng này, phương pháp kinh điển của chúng ta là chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Xét tam giác ABD vuông tại D, ta có góc DAB cộng góc ABD bằng 90 độ.

Xét tam giác HBD vuông tại D, ta có góc BHD cộng góc HBD bằng 90 độ.

Mà góc ABD chính là góc ABC, còn góc BHD có số đo bằng góc DAC (vì cùng phụ với góc C của tam giác ABC, cụ thể trong tam giác ADC vuông tại D thì góc DAC cộng góc C bằng 90 độ, còn trong tam giác BHD vuông tại D thì góc BHD cộng góc HBD hay góc C bằng 90 độ).

Chính xác hơn, chúng ta xét hai tam giác vuông là tam giác BDH và tam giác ADC:

Ta có góc BDH bằng góc ADC bằng 90 độ.

Góc HBD bằng góc CAD (cùng phụ với góc C).

Do đó, tam giác BDH đồng dạng với tam giác ADC (g – g).

Từ tỉ số đồng dạng của hai tam giác này, ta suy ra: BD chia cho AD bằng DH chia cho DC.

Nhân chéo ta được: DC nhân DB bằng DH nhân DA (điều phải chứng minh).

d) Chứng minh AF nhân AB bằng AE nhân AC:

Đây là một hệ thức lượng rất quen thuộc trong tam giác đồng dạng.

Chúng ta xét tam giác AFE và tam giác ACB:

Thứ nhất, ta có góc A chung lớn nhất của cả hai tam giác.

Thứ hai, từ câu a, tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC, nên góc AFE bằng góc ACB (góc ngoài bằng góc trong đối diện của tứ giác nội tiếp, vì tổng góc AFE và góc EFC bằng 180 độ, mà góc EFC cộng góc ABC bằng 180 độ do tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE bằng góc ABC… à nhầm, để đơn giản và chính xác nhất, ta xét tam giác AFH và tam giác ADC hoặc dùng trực tiếp tam giác đồng dạng AFH và ABK).

Cách chứng minh chuẩn xác và nhanh nhất cho câu này như sau:

Xét tam giác AFH và tam giác AKB:

Ta có góc AFH bằng góc ABK bằng 90 độ.

Góc FAH chung (tức là góc BAK).

Do đó tam giác AFH đồng dạng với tam giác AKB (g – g).

Suy ra tỉ số: AF chia cho AK bằng AH chia cho AB, hay AF nhân AB bằng AH nhân AK.

Tương tự, xét tam giác AEH và tam giác AKC, ta cũng chứng minh được tam giác AEH đồng dạng với tam giác AKC (g – g).

Suy ra tỉ số: AE chia cho AK bằng AH chia cho AC, hay AE nhân AC bằng AH nhân AK.

Từ hai điều trên (cùng bằng tích AH nhân AK), ta suy ra: AF nhân AB bằng AE nhân AC (điều phải chứng minh).

Cách thứ hai ngắn gọn hơn cho các em nhanh trí: Xét tam giác AFE và tam giác ACB, ta có góc A chung. Tỷ số cạnh bên AF chia cho AC bằng AE chia cho AB (do tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF vì cùng có góc A chung và góc vuông). Suy ra AF nhân AB bằng AE nhân AC.

Lời dặn dò của giáo viên: Bài toán này đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức về tứ giác nội tiếp, các dấu hiệu nhận biết, tính chất hình bình hành và đặc biệt là phương pháp chứng minh tam giác đồng dạng để suy ra hệ thức tích. Các em hãy ghi chép lại đầy đủ và tự tay vẽ lại hình để khắc sâu kiến thức nhé. Chúc các em học tập thật tốt!