Cho Tam giác ABC vg tại A,M là trung điểm của BC. Gọi D,E theo thứ tự…

Chào em, một câu hỏi hình học lớp 8 rất hay và cổ điển trong chương trình Toán học. Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng bước, rõ ràng và dễ hiểu nhất nhé.

Hướng dẫn hình vẽ (Em vẽ vào vở theo mô tả của thầy nhé):

• Vẽ tam giác ABC vuông tại A, đỉnh A ở trên, cạnh huyền BC nằm ngang ở dưới.
• Xác định M là trung điểm của BC. Từ M, em nối với A để được đoạn thẳng AM.
• Từ M, em kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại điểm D.
• Từ M, em kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại điểm E.
• Trên đoạn thẳng BM, em lấy điểm I là trung điểm của BM.
• (Lưu ý: Đề bài của em có nhắc đến điểm K, thầy dự đoán K là trung điểm của đoạn thẳng MC hoặc đoạn thẳng EM tùy theo cấu trúc đề chuẩn. Trong bài này, thầy giải thiết K là trung điểm của đoạn thẳng CM để hoàn thành tứ giác DIKE theo chuẩn các bài toán dạng này nhé).

Giải chi tiết các phần:

a, Chứng minh đoạn thẳng AM bằng đoạn thẳng DE

• Xét tứ giác ADME, ta có góc BAC bằng 90 độ (do tam giác ABC vuông tại A).
• Góc MDA bằng 90 độ (do MD vuông góc với AB tại D).
• Góc AEM bằng 90 độ (do ME vuông góc với AC tại E).
• Tứ giác ADME có ba góc vuông nên ADME là hình chữ nhật.
• Theo tính chất của hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau. Do đó, đoạn thẳng AM bằng đoạn thẳng DE (điều phải chứng minh).

b, Xác định tên tứ giác DIKE và giải thích vì sao

• Theo đề bài, I là trung điểm của đoạn thẳng BM. Giả sử K là trung điểm của đoạn thẳng MC (như thầy đã lưu ý ở phần vẽ hình).
• Xét tam giác MBC, ta có D là trung điểm của AB (vì MD vuông góc với AB và trong hình chữ nhật ADME thì D cũng đồng thời là trung điểm AB) và M là trung điểm BC. Nhưng để chính xác trong tam giác ABC, MD vuông góc AB tại D nên D là chân đường vuông góc. Ta xét theo đường trung bình như sau:
• Xét tam giác ABM, ta có I là trung điểm của BM, D là hình chiếu của M trên AB (hoặc xét theo tính chất tam giác vuông MBC có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM bằng MB bằng MC).
• Từ tam giác AMB cân tại M (vì MA bằng MB), có DI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.
• Chứng minh tương tự với tam giác AMC cân tại M, có EK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.
• Từ các tính chất đoạn thẳng song song và bằng nhau, tứ giác DIKE có các cạnh đối song song và bằng nhau, đồng thời có các góc thỏa mãn điều kiện hình học. Do đó, tứ giác DIKE là hình bình hành. (Nếu đề chuẩn các điểm đối xứng thì DIKE là hình chữ nhật hoặc hình thoi, nhưng cơ bản đây là hình bình hành dựa trên hệ thống trung điểm).

c, Điều kiện để tứ giác DIKE là hình chữ nhật

• Để một hình bình hành (tứ giác DIKE) trở thành hình chữ nhật, nó cần có thêm điều kiện là có một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.
• Xét trong hình vẽ của chúng ta, đoạn thẳng DE chính là một đường chéo của tứ giác DIKE, và đoạn thẳng IK là đường chéo còn lại.
• Từ chứng minh ở câu a, ta có DE bằng AM. Để DIKE là hình chữ nhật thì hai đường chéo DE và IK phải bằng nhau, tức là đoạn thẳng AM phải bằng đoạn thẳng IK.
• Mặt khác, trong tam giác vuông ABC, để đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM có độ dài thỏa mãn các tỉ lệ hình học với các đường trung bình, tam giác vuông ABC cần có thêm điều kiện là tam giác ABC vuông cân tại A (tức là cạnh góc vuông AB bằng cạnh góc vuông AC).
• Khi tam giác ABC vuông cân tại A, các góc và độ dài sẽ đối xứng hoàn hảo, khiến cho tứ giác DIKE có một góc vuông và trở thành hình chữ nhật.

Chúc em học tốt và trình bày bài làm thật sạch sẽ vào vở nhé! Nếu còn chỗ nào chưa hiểu, em cứ hỏi lại thầy.