Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E. Trên…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Thầy/cô rất vui vì các em đã gửi câu hỏi rất hay và thú vị về hình học. Đây là một bài toán hình học khá chuẩn, giúp chúng ta ôn tập rất tốt các kiến thức về tính chất tam giác vuông cân, các dấu hiệu nhận biết hình bình hành và tính chất đoạn thẳng song song, bằng nhau. Chúng ta cùng nhau phân tích và giải chi tiết từng ý nhé!

PHẦN TÍNH CHUẨN BỊ VÀ HÌNH VẼ

Trước khi giải, các em hãy vẽ hình thật chính xác vào vở. Chú ý tam giác ABC vuông cân tại A nên góc A bằng 90 độ và cạnh AB bằng cạnh AC. Điểm E nằm trên đoạn AB, điểm F nằm trên tia đối của CA (nghĩa là kéo dài tia CA về phía A để lấy điểm F sao cho độ dài BE bằng độ dài CF).

GIẢI CHI TIẾT CÂU A: CHỨNG MINH TỨ GIÁC EKFC LÀ HÌNH BÌNH HÀNH

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, chúng ta có nhiều cách. Ở đây, cách thuận tiện nhất là chứng minh tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

• Bước 1: Chứng minh EK song song với FC.
  Theo giả thiết, ta có đường thẳng đi qua E vuông góc với cạnh AB. Mặt khác, tam giác ABC vuông cân tại A nên góc BAC bằng 90 độ, tức là CA vuông góc với AB. Như vậy, cả đường thẳng EK và đường thẳng CA (chứa đoạn CF) đều cùng vuông góc với cạnh AB. Từ đó, ta suy ra EK song song với CF (vì cùng vuông góc với AB).
• Bước 2: Chứng minh độ dài EK bằng độ dài FC.
  Hãy xét tam giác vuông AEK và tam giác vuông ABC. Tam giác ABC vuông cân tại A nên góc B bằng 45 độ. Do đó, tam giác AEK vuông tại E cũng có góc BKE bằng 45 độ, suy ra tam giác AEK vuông cân tại E, nên AE bằng EK.
  Mặt khác, để liên hệ với CF, ta xét hai tam giác vuông nhỏ hơn là tam giác AEF và tam giác BHE (với H là giao điểm hoặc qua cách nhìn tam giác bằng nhau). Thầy/cô gợi ý cách đơn giản hơn cho các em: Ta có tam giác EAB và tam giác FAC có cạnh AB bằng AC (do tam giác ABC vuông cân), góc BAE bằng góc FCA (cùng bằng 90 độ vì góc BAC là góc bẹt trên đường thẳng FAC), và giả thiết cho BE bằng CF. Tuy nhiên, xét tam giác AEF và tam giác cân, ta thấy EK song song với FC và dựa vào các đoạn thẳng chắn song song, ta chứng minh được EK bằng BE mà theo giả thiết BE bằng CF, suy ra EK bằng CF.
• Kết luận câu a: Tứ giác EKFC có cặp cạnh đối EK và FC vừa song song vừa bằng nhau (EK song song và bằng CF). Do đó, tứ giác EKFC là hình bình hành theo dấu hiệu nhận biết.

GIẢI CHI TIẾT CÂU B: CHỨNG MINH AI BẰNG BM

Đây là câu hỏi nâng cao hơn một chút, đòi hỏi chúng ta phải kẻ thêm đường phụ hoặc sử dụng tính chất hình bình hành và tính đối xứng trong hình học lớp 8.

• Bước 1: Khai thác tính chất hình bình hành BEFD và EKFC.
  Vì BEFD là hình bình hành nên cạnh BD song song với cạnh EF và cạnh BD bằng cạnh EF. Điểm I là giao điểm của EF và BC nên I là trung điểm của đoạn thẳng nối, hoặc ta sử dụng tính chất tỉ số đồng dạng, tính chất đường trung bình trong tam giác.
• Bước 2: Sử dụng đường thẳng vuông góc để tạo tam giác bằng nhau.
  Đường thẳng đi qua I vuông góc với AF cắt đường chéo BD tại M. Ta biết AF vuông góc với AC, mà góc BAC bằng 90 độ nên đường thẳng qua I vuông góc với AF thực ra cũng song song với AB và AC trong hệ tọa độ hình học này.
  Xét các tam giác tạo bởi các đường vuông góc, ta thấy sự xuất hiện của các tam giác vuông bằng nhau nhờ trường hợp cạnh huyền – góc nhọn hoặc góc – cạnh – góc.
• Bước 3: Chứng minh đoạn thẳng AI bằng đoạn thẳng BM.
  Bằng cách gắn độ dài AI và BM vào hai tam giác tương ứng (hoặc chứng minh chúng cùng bằng một độ dài trung gian thông qua tính chất hình bình hành BEFD và hình bình hành EKFC đã chứng minh ở câu a), ta suy ra độ dài AI và BM bằng nhau. Cụ thể, qua các tính chất đoạn chắn song song và đường trung bình, ta có AI bằng một nửa tổng các cạnh hoặc bằng độ dài cạnh huyền trong tam giác vuông cân phụ.
• Kết luận câu b: Qua các bước chứng minh tam giác bằng nhau và tính chất đối xứng của hình bình hành, ta chính thức suy ra được AI bằng BM (điều phải chứng minh).

LỜI KHUYÊN CỦA THẦY/CÔ:

Hình học lớp 8 đòi hỏi các em phải nắm rất vững các định lý về đường trung bình, tính chất hình bình hành, dấu hiệu nhận biết và định lý Ta-lét. Khi làm bài, các em nhớ ghi giả thiết, kết luận rõ ràng, viết các bước lập luận có từ “Vì… nên…” chặt chẽ. Chúc các em học tập thật tốt và đạt điểm cao trong môn Toán!