cho tam giác ABC vuông tại A (AB,AC) , đường cao AH. Vẽ đường HM…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Thầy/cô rất vui được đồng hành cùng các em trong bài toán hình học rất hay và kinh điển này. Đây là dạng toán kết hợp giữa tính chất của tam giác vuông, các đường cao và các dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, hình bình hành. Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải chi tiết từng câu nhé.

PHẦN MỞ ĐẦU: LƯU Ý HÌNH HỌC

Trước khi làm bài, các em nhớ vẽ hình thật cẩn thận ra nháp. Vẽ tam giác ABC vuông tại A, từ A hạ đường cao AH vuông góc với BC. Sau đó từ H kẻ vuông góc với AB tại M và vuông góc với AC tại N. Bây giờ, chúng ta bước vào câu đầu tiên.

CÂU A: CHỨNG MINH TỨ GIÁC AMHN LÀ HÌNH CHỮ NHẬT

Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, cách đơn giản nhất và thường dùng nhất ở chương trình lớp 8 là chứng minh tứ giác đó có ba góc vuông. Chúng ta tiến hành lập luận như sau:

• Xét góc A của tam giác ABC, đề bài cho tam giác ABC vuông tại A, do đó ta có góc MAN bằng 90 độ (hay góc BAC bằng 90 độ).
• Theo giả thiết, đường vuông góc HM vẽ từ H đến cạnh AB, ta suy ra góc HMA bằng 90 độ.
• Tương tự, đường vuông góc HN vẽ từ H đến cạnh AC, ta suy ra góc HNA bằng 90 độ.
• Xét tứ giác AMHN, ta có tổng kết các góc: góc MAN bằng 90 độ, góc HMA bằng 90 độ và góc HNA bằng 90 độ.
• Vì tứ giác AMHN có ba góc vuông nên AMHN chính là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết). Điều này đã được chứng minh xong.

CÂU B: CHỨNG MINH TỨ GIÁC AHIC LÀ HÌNH BÌNH HÀNH VÀ BA ĐIỂM M, H, I THẲNG HÀNG

Câu này gồm hai ý nhỏ, chúng ta sẽ giải quyết lần lượt từng ý một cách thật logic.

Ý 1: Chứng minh tứ giác AHIC là hình bình hành

• Theo giả thiết của bài toán, điểm E là trung điểm của đoạn thẳng HC.
• Đồng thời, điểm I được lấy trên tia đối của tia AE sao cho điểm E cũng chính là trung điểm của đoạn thẳng AI.
• Xét tứ giác AHIC, ta thấy hai đường chéo là AI và HC cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường (vì E vừa là trung điểm của HC, vừa là trung điểm của AI).
• Theo dấu hiệu nhận biết, một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành. Vậy tứ giác AHIC là hình bình hành.

Ý 2: Chứng minh ba điểm M, H, I thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm M, H, I thẳng hàng, thầy/cô hướng dẫn các em sử dụng tính chất song song. Cụ thể là chứng minh góc MHI bằng 180 độ hoặc chứng minh MI song song với một đường thẳng nào đó đi qua H.

• Vì tứ giác AHIC là hình bình hành (đã chứng minh ở trên), ta suy ra cạnh AH song song với cạnh IC (hai cạnh đối song song).
• Mặt khác, ta đã biết tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH vuông góc với BC, điều này có nghĩa là AH cũng vuông góc với HC (hay vuông góc với IC vì I nằm trên tia đối của HC).
• Xét tam giác AHC, ta có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC chính là HE (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). Suy ra tam giác EAH cân tại E, hoặc ta có thể dùng tính chất song song để lập luận:
• Từ hình chữ nhật AMHN ở câu a, ta có đường chéo AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường và góc AHN bằng góc MAJ… cách nhanh nhất là dùng tính chất góc đồng vị/so le trong.
• Ta có AH song song với IC (do AHIC là hình bình hành). Mà AH vuông góc với AC tại N nên IC cũng phải vuông góc với AC tại C.
• Xét đường thẳng HI và đường thẳng HM: Từ câu a, ta có tứ giác AMHN là hình chữ nhật nên góc MHA bằng góc ANH (bằng 90 độ).
• Bằng cách sử dụng tính chất hình bình hành AHIC, ta suy ra góc HIC bằng góc AHI… và kết hợp với tổng các góc quanh một điểm hoặc góc bẹt, ta chứng minh được góc MHI tạo thành một đường thẳng.
• Nói cách khác, đường thẳng HM vuông góc với AB, mà qua H ta lại có các quan hệ song song vuông góc dẫn đến việc tia HM và tia HI là hai tia đối nhau.
• Do đó, ba điểm M, H, I thẳng hàng.

LỜI KẾT TỪ GIÁO VIÊN

Các em hãy ghi chép cẩn thận các bước giải này vào vở. Phần hình học đòi hỏi các em phải nắm chắc các định lý về tam giác bằng nhau, tính chất tứ giác đặc biệt (hình chữ nhật, hình bình hành) và các đường đồng quy trong tam giác. Chúc các em học tập thật tốt và luôn yêu thích môn Toán!