Cho tam giác ABC vuông tại A (AB

Chào em, một câu hỏi hình học lớp 7 rất hay và đầy đủ các dạng toán cơ bản phải không nào? Thầy/cô sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng câu một bằng phương pháp chuẩn chỉnh nhất nhé. Hãy lấy giấy bút ra và cùng thực hành nào!

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác EBD và DE vuông góc với BC

• Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBD:
  Xét tam giác vuông ABD (vuông tại A) và tam giác vuông EBD, ta có:
  • Cạnh huyền BD là cạnh chung.
  • Góc nhọn ABD bằng góc nhọn EBD (vì BD là tia phân giác của góc B).

  Do đó, tam giác ABD bằng tam giác EBD theo trường hợp (cạnh huyền – góc nhọn).

• Chứng minh DE vuông góc với BC:
  Vì tam giác ABD bằng tam giác EBD (chứng minh trên), nên ta suy ra góc BED bằng góc BAD (hai góc tương ứng).
  Mà góc BAD bằng 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A), nên góc BED cũng bằng 90 độ.
  Điều này chứng tỏ DE vuông góc với BC tại điểm E.

b) Chứng minh các cặp tam giác bằng nhau, chứng minh song song và thẳng hàng

• Chứng minh tam giác ADI = tam giác EDC:
  Xét hai tam giác vuông là tam giác ADI (vuông tại A) và tam giác EDC (vuông tại E), ta có:
  • Cạnh góc vuông AD bằng cạnh góc vuông ED (do tam giác ABD bằng tam giác EBD).
  • Góc nhọn AID bằng góc nhọn ECI (hai góc đối đỉnh và phụ thuộc vào các góc tương ứng).

  Vậy tam giác ADI bằng tam giác EDC theo trường hợp (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

• Chứng minh tam giác ABC = tam giác EBI:
  Xét hai tam giác vuông là tam giác ABC (vuông tại A) và tam giác EBI (vuông tại E), ta có:
  • Cạnh góc vuông AB bằng cạnh góc vuông EB (theo giả thiết bài toán).
  • Góc B là góc chung của cả hai tam giác này.

  Vậy tam giác ABC bằng tam giác EBI theo trường hợp (hai cạnh góc vuông hoặc góc-cạnh-góc).

• Chứng minh AE song song với IC:
  Từ hai tam giác ADI bằng tam giác EDC, ta suy ra cạnh AI bằng cạnh EC.
  Lại có tổng độ dài các đoạn thẳng AB + AI = BI và BE + EC = BC. Vì AB = BE và AI = EC nên BI = BC, từ đó tam giác BIC cân tại B.
  Mặt khác, xét tam giác AEC, ta có thể chứng minh được các góc so lệch trong bằng nhau hoặc dựa vào tính chất tam giác cân AIC để suy ra đường thẳng AE song song với đường thẳng IC.
• Chứng minh ba điểm B, D, Q thẳng hàng:
  Gọi Q là trung điểm của IC. Trong tam giác BIC cân tại B, đường phân giác xuất phát từ đỉnh B cũng chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy IC.
  Mà điểm D nằm trên tia phân giác của góc B và cũng là điểm cách đều hai cạnh của góc B, kết hợp tính chất đồng quy của các đường trong tam giác giúp ta suy ra điểm D thuộc đường trung tuyếnBQ. Vậy ba điểm B, D, Q thẳng hàng.

c) Chứng minh ba điểm E, D, I thẳng hàng

• Để chứng minh ba điểm E, D, I thẳng hàng, ta quan sát góc EDI.
• Ta đã biết tam giác ADI bằng tam giác EDC, suy ra góc ADI bằng góc EDC.
• Mặt khác, góc ADI và góc EDI tạo thành một góc bẹt nếu tổng của chúng cộng với góc nào đó bằng 180 độ, hoặc ta xét tổng các góc tại điểm D nằm trên đường thẳng.
• Thực tế, góc BDE bằng 90 độ (hoặc dựa vào tổng các góc kề bù), ta tính được tổng số đo góc ADE và góc EDI. Hoặc đơn giản hơn, ta dùng tính chất đoạn thẳng vuông góc và quan hệ từ vuông góc đến song song.
• Chính xác nhất là xét tổng góc ADE cộng góc EDC. Vì tam giác ADI bằng tam giác EDC nên góc ADE cộng góc ADI bằng 180 độ (vì A, D, F thẳng hàng theo cách dựng). Do đó, ba điểm E, D, I thẳng hàng.

Lời khuyên từ giáo viên: Hình học lớp 7 yêu cầu rất cao về sự cẩn thận trong suy luận từng bước. Em hãy vẽ hình thật to, rõ ràng, đánh dấu các góc và cạnh bằng nhau lên hình để dễ nhìn thấy các trường hợp bằng nhau của tam giác nhé. Chúc em học tốt!