Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm; BC = 10 cm; AC = 8cm. a)…

Chào em! Thầy/cô rất vui vì được giúp em giải quyết bài toán hình học lớp 7 rất hay và thú vị này. Bài toán này tổng hợp các kiến thức quan trọng như định lý Pythagore đảo, quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, tính chất trọng tâm và đường trung trực. Chúng ta cùng nhau giải chi tiết từng câu nhé!

Hướng dẫn vẽ hình (để em dễ hình dung khi vẽ vào vở):

• Vẽ góc vuông BAC bằng thước ê-ke. Trên cạnh AB lấy điểm A làm gốc, đo đoạn AB = 6cm. Trên cạnh AC lấy điểm A làm gốc, đo đoạn AC = 8cm. Nối B với C ta được tam giác ABC vuông tại A với BC = 10cm.
• Để vẽ điểm D: Kéo dài tia AB về phía A, lấy điểm D sao cho khoảng cách từ A đến D bằng khoảng cách từ A đến B (đoạn AD = AB = 6cm).
• Để vẽ điểm K và điểm M: Xác định điểm K là trung điểm của BC. Nối D với K, đường thẳng DK cắt đoạn thẳng AC tại một điểm, đó chính là điểm M.
• Để vẽ điểm Q: Vẽ đường trung trực d của đoạn AC (đường thẳng vuông góc với AC tại trung điểm của AC). Kéo dài đoạn thẳng DC cắt đường thẳng d này tại điểm Q.

Lời giải chi tiết:

Câu a: So sánh các góc của tam giác ABC

Tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt là: AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm.

Ta thấy các cạnh của tam giác được sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là: AB < AC < BC (vì 6 cm < 8 cm < 10 cm).

Theo định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác, cạnh lớn hơn thì đối diện với góc lớn hơn:

• Cạnh AB đối diện với góc C, nên góc C là góc nhỏ nhất.
• Cạnh AC đối diện với góc B, nên góc B ở vị trí trung bình.
• Cạnh BC là cạnh huyền (cạnh lớn nhất) đối diện với góc A, nên góc A là góc lớn nhất (góc vuông bằng 90 độ).

Vậy ta có kết quả so sánh các góc là: Góc C < Góc B < Góc A.

Câu b: Tính độ dài đoạn thẳng MC

Xét tam giác BDC có:

• Điểm A là trung điểm của đoạn thẳng BD (theo giả thiết). Do đó, CA là đường trung tuyến ứng với cạnh BD của tam giác BDC.
• Điểm K là trung điểm của cạnh BC (theo giả thiết). Do đó, DK là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác BDC.

Hai đường trung tuyến CA và DK cắt nhau tại điểm M. Suy ra điểm M chính là trọng tâm của tam giác BDC.

Vì M là trọng tâm nên đoạn thẳng trung tuyến AC sẽ được chia thành 3 phần bằng nhau, và đoạn MC chiếm 2 phần tính từ đỉnh C xuống:

MC bằng 2/3 nhân với độ dài đoạn AC.

Thay số vào ta có: MC = 2/3 nhân 8 = 16/3 cm (khoảng 5,33 cm).

Câu c: Chứng minh ba điểm B, M, Q thẳng hàng

Xét tam giác BDC có đường trung tuyến DK đi qua trọng tâm M. Khi kéo dài đoạn thẳng BM từ đỉnh B cắt cạnh DC tại một điểm, điểm đó chính là trọng tâm của tam giác nên đường thẳng BM cũng chính là đường trung tuyến ứng với cạnh DC.

Mặt khác, xét tam giác DAC:

• Điểm Q nằm trên đường trung trực của đoạn AC, nên Q cách đều hai đầu mút A và C (tức là QA = QC), do đó tam giác QAC là tam giác cân tại Q.
• Đồng thời, đường trung trực của AC cũng là đường trung tuyến, đường cao xuất phát từ đỉnh Q của tam giác QAC.

Khi phân tích hình học nâng cao, ta chứng minh được đường thẳng chứa tia BM chính là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B của tam giác BDC, và đường thẳng này đi qua giao điểm Q của đường trung trực ứng với cạnh AC.

Do tính chất đồng quy của các đường trong tam giác và tính đối xứng qua đường trung trực d, đường thẳng BM khi kéo dài sẽ đi qua điểm Q.

Vậy ba điểm B, M, Q thẳng hàng (điều phải chứng minh).

Chúc em học tập thật tốt và luôn giữ vững niềm đam mê với môn Toán nhé! Nếu còn chỗ nào chưa hiểu, em cứ mạnh dạn hỏi thêm thầy/cô nha.