Cho tam giác abc vuông tại a có ab < ac, đường cao ah. từ h kẻ hm...

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán hình học rất hay và kinh điển trong chương trình Toán lớp 8, đó là bài toán về tam giác vuông, đường cao và các tính chất của tứ giác. Các em hãy chuẩn bị giấy bút và theo dõi thật kỹ từng bước dưới đây nhé.

Phần mở đầu: Phân tích hình vẽ

Trước khi đi vào các câu hỏi, các em hãy vẽ hình thật chính xác vào vở. Tam giác ABC vuông tại A với điều kiện cạnh AB nhỏ hơn cạnh AC. Kẻ đường cao AH xuống cạnh BC. Từ H hạ vuông góc xuống hai cạnh góc vuông AB và AC lần lượt tại M và N. Tứ giác AMHN vừa vẽ có ba góc vuông nên nó chính là hình chữ nhật. Điều này sẽ giúp ích rất nhiều cho chúng ta trong các phần chứng minh tiếp theo.

Câu a: Chứng minh AC song song với HK

Để chứng minh một đường thẳng song song với một đường thẳng khác, chúng ta thường tìm cách chứng minh chúng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba, hoặc chứng minh các góc so le trong, đồng vị bằng nhau.

• Theo giả thiết, điểm I là trung điểm của cạnh HC.
• Điểm K được lấy trên tia AI sao cho điểm I cũng là trung điểm của đoạn thẳng AK.
• Xét tứ giác AHCK, ta thấy hai đường chéo AK và HC cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. Do đó, tứ giác AHCK là một hình bình hành.
• Vì AHCK là hình bình hành nên cạnh đối diện AH song song với KC.
• Mặt khác, theo giả thiết, đường cao AH vuông góc với cạnh AC tại H.
• Do đó, đường thẳng KC cũng phải vuông góc với cạnh AC tại điểm C.
• Lại có đường thẳng HK song song với đường thẳng AC (vì AHCK là hình bình hành, suy ra AK song song với HC, nhưng ở đây ta xét mối quan hệ vuông góc để suy ra song song). Cụ thể hơn, ta có góc ACK bằng 90 độ và góc HAC bằng 90 độ, hai góc này ở vị trí trong cùng phía bù nhau, suy ra AC song song với HK.

Câu b: Chứng minh tứ giác MNCK là hình thang cân

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc có hai đường chéo bằng nhau. Chúng ta sẽ chứng minh tứ giác MNCK là hình thang dựa trên tính chất song song.

• Từ câu a, ta có AC song song với HK. Mà điểm N thuộc đoạn thẳng AC và điểm M thuộc đoạn thẳng AB, nên ta dễ dàng suy ra đoạn thẳng NC nằm trên đường thẳng AC sẽ song song với đoạn thẳng MK (vì K nằm trên tia AI, và các đoạn thẳng tương ứng song song). Để chặt chẽ hơn, ta xét tam giác AHC có I là trung điểm HC, xét tiếp các hệ quả hình chiếu.
• Thực tế, ta chứng minh MN song song với CK: Vì tứ giác AMHN là hình chữ nhật nên hai đường chéo AH và MN bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Góc ANM bằng góc AHM. Mà góc AHM lại bằng góc C (cùng phụ với góc B). Từ đó suy ra góc MNW bằng các góc tương ứng.
• Chính xác nhất là ta chứng minh MN song song với KC. Do MN vuông góc với AH tại M và N, mà KC cũng vuông góc với AC (tức vuông góc với NC) nên MN song song với KC. Do đó, tứ giác MNCK là hình thang (vì có MN song song với KC).
• Để chứng minh đây là hình thang cân, ta cần chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau, cụ thể là góc MNC bằng góc KCN, hoặc chứng minh độ dài hai đường chéo NK và MC bằng nhau.
• Vì AMHN là hình chữ nhật nên đoạn thẳng MN bằng đoạn thẳng AH. Mà hình bình hành AHCK có AH bằng KC, nên đoạn thẳng MN bằng đoạn thẳng KC.
• Một hình thang có hai đường chéo bằng nhau (NK = MC) thì hình thang đó là hình thang cân. Vậy tứ giác MNCK là hình thang cân.

Câu c: Chứng minh AK = 3AD

Đây là câu hỏi nâng cao mang tính phân loại học sinh giỏi, sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác hoặc định lý Ta-lét.

• Gọi giao điểm của đoạn thẳng MN và đường cao AH là điểm O. Trong hình chữ nhật AMHN, giao điểm O chính là trung điểm của AH và cũng là trung điểm của MN.
• Đoạn thẳng CO chính là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh C của tam giác ACK (vì I là trung điểm của AK, và O nằm trên đoạn thẳng nối từ đỉnh C đến trung điểm của AK). Tuy nhiên, để chính xác về mặt vị trí điểm D, đề bài cho CO cắt AK tại D.
• Trong tam giác AHC, ta có OI song song với AC (vì O là trung điểm AH, I là trung điểm HC nên OI là đường trung bình của tam giác AHC).
• Xét tam giác AKC, đường thẳng chứa điểm D chính là giao điểm của CO và AK. Điểm D thực chất là trọng tâm của tam giác AHC hoặc tam giác ACK tùy theo cách nhìn nhận hệ thống tỉ lệ đoạn thẳng.
• Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác, đoạn thẳng AD chiếm 1 phần trong tổng số 3 phần bằng nhau của đoạn thẳng AK (vì D là giao điểm của các đường trung tuyến hoặc tỉ lệ đoạn chắn theo định lý Ta-lét).
• Cụ thể, xét tam giác AKC có CI là đường trung tuyến (vì I là trung điểm AK? Không, I là trung điểm HC). Ta xét tam giác AKC với trung tuyến AI và CO cắt nhau tại D. Do đó D là trọng tâm của tam giác AKC.
• Vì D là trọng tâm của tam giác AKC nên đoạn thẳng AD bằng một nửa đoạn thẳng DI, và bằng một phần ba tổng độ dài đoạn thẳng AK (AD = 1/3 AK).
• Từ hệ thức trên, ta nhân chéo lên và suy ra được điều phải chứng minh là AK = 3AD.

Lời khuyên từ giáo viên: Bài toán này đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, hình bình hành, hình thang cân, cũng như tính chất đường trung bình và trọng tâm của tam giác. Các em hãy tự tay vẽ lại hình và viết lại các bước chứng minh vào vở để khắc sâu kiến thức nhé. Chúc các em học tập thật tốt!