Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. M là trung điểm của BC. Kẻ...

Chào em, một bài toán hình học lớp 8 rất hay và cổ điển về chuyên đề đường trung bình và hình thang cân. Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng bước một cách dễ hiểu nhất nhé.

Phần a: Chứng minh EF bằng một nửa cạnh BC

• Bước 1: Nhận diện tứ giác AEMF. Tam giác ABC vuông tại A nên góc A bằng 90 độ. Theo giả thiết, ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC. Suy ra góc A bằng góc E bằng góc F bằng 90 độ. Do đó, tứ giác AEMF là hình chữ nhật (có ba góc vuông).
• Bước 2: Sử dụng tính chất đường chéo hình chữ nhật. Trong hình chữ nhật AEMF, hai đường chéo là EF và AM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau. Vậy ta có: EF = AM.
• Bước 3: Liên hệ với tam giác vuông ABC. Xét tam giác vuông ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền. Do đó: AM = BC / 2.
• Kết luận phần a: Vì EF = AM và AM = BC / 2 nên EF = BC / 2 (Điều phải chứng minh).

Phần b: Chứng minh tứ giác KMFE là hình thang cân

• Bước 1: Chứng minh tứ giác KMFE là hình thang.
  • Xét tam giác ABC, ta có M là trung điểm của BC và ME song song với AC (vì cùng vuông góc với AB). Suy ra E là trung điểm của AB.
  • Xét tam giác ABC có M là trung điểm BC và E là trung điểm AB, nên ME là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó ME song song với AC, hay ME song song với AK (vì K thuộc AC).
  • Vì ME song song với KF (do KF nằm trên AC và ME song song với AC), tứ giác KMFE có hai cạnh đối ME và KF song song với nhau nên KMFE là hình thang.
• Bước 2: Chứng minh hình thang KMFE là hình thang cân.
  • Xét tam giác vuông ABK vuông tại K (vì AK là đường cao), có KE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB (do E là trung điểm AB). Suy ra KE = AB / 2.
  • Mặt khác, ở phần a ta đã biết AM = BC / 2. Lại có trong tam giác vuông ABC, đoạn AM cũng bằng nửa cạnh huyền BC. Từ tính chất hình chữ nhật AEMF, ta có AF = ME.
  • Xét tam giác vuông AFC và tam giác vuông MEB, ta có thể chứng minh hai đường chéo của hình thang là KM = EF. Cụ thể hơn, trong tam giác vuông AKB, KE là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên KE bằng nửa cạnh huyền AB. Còn MF là đường trung bình của tam giác ABC nên MF cũng bằng nửa cạnh AB. Suy ra KE = MF.
  • Hình thang KMFE có hai đường chéo bằng nhau là KE = MF nên KMFE là hình thang cân.
• Kết luận phần b: Tứ giác KMFE vừa là hình thang vừa có hai đường chéo bằng nhau nên KMFE là hình thang cân (Điều phải chứng minh).

Lời khuyên từ thầy: Để học tốt phần này, em nhớ vẽ hình thật chính xác, tô đậm các đường trung bình và thuộc lòng các tính chất về tam giác vuông ứng với đường trung tuyến cạnh huyền nhé. Chúc em học tập thật tốt!