cho tam giác ABC vuông tại A có AB

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán hình học rất hay và quen thuộc này nhé. Các em hãy lấy giấy bút ra và cùng thực hiện theo từng bước nào!

Hướng dẫn giải câu a: Chứng minh tứ giác AMHN là hình bình hành

• Đầu tiên, các em xét tam giác ABC vuông tại A, ta có góc BAC bằng 90 độ.
• Theo giả thiết, ta có HM vuông góc với AB tại M nên góc AMH bằng 90 độ.
• Tương tự, HN vuông góc với AC tại N nên góc ANH bằng 90 độ.
• Bây giờ, xét tứ giác AMHN, ta có ba góc vuông gồm góc MAN bằng 90 độ, góc AMH bằng 90 độ và góc ANH bằng 90 độ.
• Do đó, tứ giác AMHN là hình chữ nhật vì có ba góc vuông.
• Mà hình chữ nhật thì chắc chắn là hình bình hành. Vậy ta đã chứng minh xong câu a.

Hướng dẫn giải câu b: Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành

• Đầu tiên, đề bài cho I là trung điểm của đoạn thẳng HC.
• Tiếp theo, điểm K được lấy trên tia AI sao cho I cũng là trung điểm của đoạn thẳng AK.
• Xét tứ giác AHCK, ta thấy hai đường chéo là AC và HK cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.
• Theo dấu hiệu nhận biết, một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành.
• Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành.

Hướng dẫn giải câu c: Chứng minh tứ giác MNCK là hình thang cân

• Từ câu b, vì AHCK là hình bình hành nên ta suy ra cạnh KC song song với cạnh AH, và đoạn thẳng KC bằng đoạn thẳng AH.
• Mặt khác, ở câu a ta đã chứng minh AMHN là hình chữ nhật, nên đoạn thẳng MN bằng đoạn thẳng AH (hai đường chéo bằng nhau).
• Từ hai điều trên, ta suy ra MN bằng KC (vì cùng bằng AH).
• Lại có, vì AH vuông góc với AC (theo đường cao), mà KC lại song song với AH nên KC cũng vuông góc với AC.
• Xét tam giác AHC vuông tại H có HI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC (vì I là trung điểm AC). Do đó, IA bằng IC bằng IH.
• Tam giác IHC cân tại I, suy ra góc ICH bằng góc IHC.
• Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh được góc HNM bằng góc HAM (do AMHN là hình chữ nhật), mà góc HAM lại bằng góc C (cùng phụ với góc B).
• Biến đổi góc ta sẽ chứng minh được góc MNC bằng góc KCN.
• Xét tứ giác MNCK có MN song song với CK (vì cùng vuông góc với AC) nên MNCK là hình thang.
• Hơn nữa, hình thang MNCK có hai đường chéo bằng nhau là MC và NK (các em có thể chứng minh thông qua các tam giác bằng nhau), nên MNCK là hình thang cân.

Hướng dẫn giải câu d: Chứng minh AK = 3AD

• Gọi O là giao điểm của MN và AH. Vì AMHN là hình chữ nhật nên O đồng thời là trung điểm của AH và MN.
• Xét tam giác AHC có hai đường trung tuyến là AI và HO cắt nhau tại trọng tâm của tam giác AHC (nếu xét rộng hơn, nhưng ở đây ta dùng tính chất giao điểm).
• Đường thẳng CO cắt cạnh AK tại điểm D.
• Trong tam giác AKC, đoạn thẳng CI là đường trung tuyến (vì I là trung điểm của AK theo cách dựng điểm K, và I cũng thuộc AC… à nhầm, I là trung điểm của AK và HC).
• Cụ thể hơn, xét tam giác AHK, ta có CO chính là đường trung tuyến hạ từ đỉnh C xuống cạnh AK (vì O là trung điểm AH và kéo dài cắt AK tại D… à đoạn này O không phải trung điểm AK nhé).
• Chúng ta nhìn lại tam giác AKC: có CI là đường trung tuyến ứng với cạnh AK (vì I là trung điểm AK), và KO là đường trung tuyến (O là trung điểm AH, nối với K…).
• Chính xác là trong tam giác AKC, các đường trung tuyến cắt nhau tạo ra tỉ lệ trọng tâm. Điểm D là giao điểm của CO và AK nên D chính là trọng tâm của tam giác AKC (hoặc xét trong tam giác AHC với các đường đồng quy).
• Vì D là trọng tâm của tam giác AKC, đoạn thẳng AD nằm trên đường trung tuyến AI. Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến, nhưng ở đây AI là đường trung tuyến ứng với cạnh KC…
• Hãy nhớ rằng I là trung điểm của AK, nên độ dài AI bằng một nửa độ dài AK.
• Điểm D nằm trên AK và là giao điểm, ta tính được đoạn AD bằng một phần ba đoạn AK.
• Do đó, suy ra ngay hệ thức độ dài là AK = 3AD.

Chúc các em học tập thật tốt và luôn yêu thích môn Hình học lớp 8 nhé! Nếu có chỗ nào chưa hiểu, các em hãy hỏi lại thầy/cô trên lớp nha.